巴拿赫极限
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在数学分析中,巴拿赫极限(英语:Banach limit)指的是定义在全体有界复序列组成的巴拿赫空间上,对每个中的序列、和复数满足:
- (线性);
- 若对每个有,则(正定性);
- ,其中是移位算子,定义为(移位不变性);
- 若是收敛序列,则
因此,是对连续线性泛函的延拓,其中是中收敛到某个极限的全体序列组成的复向量空间。进而可以视为发散级数论中的一个可和法。
换句话说,巴拿赫极限是对通常意义下极限概念的延拓,并且是线性、移位不变、正定的。可以对某个序列找到两个巴拿赫极限,使得各自作用下得到两个不同的值,我们称这类序列的巴拿赫极限不是唯一确定的。
作为上述性质的一个推论,每个实值巴拿赫极限也满足:
巴拿赫极限的存在性通常需要应用哈恩-巴拿赫定理证明(分析学方法)[1],也可以应用超滤子(这种方法在集合论的讨论中出现得更频繁)[2]。这些证明都一定会用到选择公理(即所谓的非构造证明)。