巴拿赫-阿劳格鲁定理 - Wikiwand
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巴拿赫-阿劳格鲁定理

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泛函分析和邻近数学分支中,巴拿赫-阿劳格鲁定理阿劳格鲁定理(英语:Banach–Alaoglu theoremAlaoglu's theorem)断言,任意赋范向量空间连续对偶空间中,单位球弱*拓扑英语weak topology中为[1]常见证明将弱*拓扑中的单位球看成一系列紧集之闭子集。根据吉洪诺夫定理,该些紧集的积拓扑空间仍为紧,故该球亦然。

定理在量子力学方面有应用。系统的可观测量是某个C*代数中的自伴算子,而量子态则是该代数上的线性泛函。此框架下,定理可以推出,每个量子态皆是纯态凸线性组合

历史

纳里奇(Narici)与贝肯斯坦(Beckenstein)书中,称阿劳格鲁定理为“非常重要的结果——也许是关于弱*拓扑唯一(the)最重要的事——回响传遍泛函分析。”[2]1912年,赫利(Helly)证明,闭区间上连续函数的空间,其连续对偶空间的单位球,为弱*可数紧英语countably compact[3]1932年,斯特凡·巴拿赫证明,任何可分赋范向量空间的连续对偶中,闭单位球必为弱*序列紧(他仅考虑了序列紧)。[3] 一般情况的证明,是由列奥尼达·阿劳格鲁英语Leonidas Alaoglu于1940年发表。纳里奇与贝肯斯坦书中,引述Pietsch [2007]指,至少有12个数学家可以主张自己证明此定理或某个重要前身。[2]

布尔巴基-阿劳格鲁定理(英语:Bourbaki–Alaoglu theorem)是尼古拉·布尔巴基将原定理推广[4][5]局部凸空间英语locally convex space对偶拓扑英语dual topology的结果。此定理亦称为巴拿赫-阿劳格鲁定理弱*紧定理(英语:weak-* compactness theorem),也常简称为阿劳格鲁定理(英语:Alaoglu theorem)。[2]

叙述

一般叙述

对于上的向量空间,以表示其代数对偶(所有线性泛函组成的空间)。两者由双线性求值映射所联系,该映射由

定义。所以,三元组(两个空间及一个映射)组成对偶系英语dual system,称为典范对偶系

进一步具有拓扑,即为拓扑向量空间(TVS),则可分辨其上的函数连续与否,并定义其连续对偶为代数对偶中,连续泛函组成的子集。以表示上的弱*拓扑。类似有上的弱*拓扑。

弱*拓扑又称逐点收敛拓扑,因为给定映射和一映射,网在弱*拓扑中收敛至,当且仅当对定义域中每点,函数值组成的网收敛到

阿劳格鲁定理[3]

为任意拓扑向量空间(无需豪斯多夫局部凸英语locally convex),为其连续对偶,则对于中原点的任何邻域),其极集英语Polar set

上的弱*拓扑英语weak topology[注 1]中,必为紧集。

此外,亦是相对于典范对偶系的极集,在拓扑空间同样为紧。

赋范特例

赋范向量空间,则原点邻域的极集,在对偶空间中为闭,且其范数有上界。特别地,若的开(或闭)单位球,则的极集为连续对偶空间的闭单位球(对偶空间配备平常的对偶范数)。此时,定理化为以下特例:

巴拿赫-阿劳格鲁定理

为赋范空间,则连续对偶空间中,算子范数的闭单位球,为弱*拓扑中的紧集。

的连续对偶是无穷维赋范空间时,中的闭单位球,不可能是平常范数拓扑的紧集。原因是,范数拓扑的闭单位球为紧,当且仅当空间为有限维(见F·里斯定理英语F. Riesz theorem)。此定理显示出,在同一个向量空间上,考虑不同的拓扑,到㡳有何用。

但注意,巴拿赫-阿劳格鲁定理并不推出弱*拓扑为局部紧,因为仅知闭单位球在强拓扑英语strong topology中为原点的邻域,在弱*拓扑中则不一定。弱*拓扑中,单位球的内部可能为空,除非空间为有限维。实际上,韦伊证明,局部紧豪斯多夫拓扑向量空间必为有限维。

证明

对偶理论证明

的基域为,此处为实数域复数域。证明会用到极集英语polar set对偶系英语dual system连续线性算子的基本性质,可参见该些条目,以下亦会简单提及。

先列举一些常见定义和性质。当代数对偶配备弱*拓扑时,为一个豪斯多夫局部凸英语Locally convex topological vector space拓扑向量空间,记为。空间总是完备英语Complete topological vector space,但连续对偶则不一定,此即证明需牵涉的原因。具体而言,本证明用到的性质是:完备豪斯多夫空间的子集为紧,当且仅当其为闭,且完全有界英语Totally bounded space。注意继承的子空间拓扑,等于弱*拓扑。为验证此事,只需检查对每个中的在其中一个拓扑中收敛到,当且仅当在另一个拓扑中亦然(因为两个拓扑结构相等,当且仅当其具有的收敛网完全一样)。

三元组也是对偶对英语dual system(有双线性映射),但与不同,前者一般而言未必是对偶系。以下定义极集时,会注明是对于何种对偶而言。

原点的邻域,又设:

  • 相对的极集;
  • 相对二重极集英语Polar set
  • 相对的极集。

极集的基本性质有

下证巴拿赫-阿劳格鲁定理,分若干步:

  1. 先证在拓扑中为的闭子集:设,又假设中的网,在中收敛到。欲证,即对任意皆成立。因为在标量域中,,而每个值皆属于(的)闭子集,故网的极限亦必在该子集中。于是
  2. 其次,欲证,以推出既是的闭子集,亦是的闭子集:有包含关系,因为连续线性泛函尤其是线性泛函。反之,欲证,设满足,换言之线性泛函在邻域上有界,而泛函有界等价于连续,故,从而,即所求证。用第1步,结合交集的子空间拓扑中为闭,推得为闭。
  3. 欲证拓扑而言是完全有界英语Totally bounded space子集:由二重极集定理英语bipolar theorem,又因为邻域中的吸收集亦同。可以证明,此结论推出而言的有界子集英语Bounded set (topological vector space)。由于分辨英语dual system各点,的子集在意义下有界,当且仅当在同样意义下完全有界英语Totally bounded space。所以,尤其有意义下完全有界。
  4. 欲证亦为拓扑下的完全有界子集:已知上,拓扑等于继承的子空间拓扑,结合第3步与“完全有界”的定义,即推出拓扑下的完全有界子集。
  5. 最后,欲证拓扑下的紧子集:因为完备拓扑向量空间英语Complete topological vector space,又为其闭(第2步)而完全有界(第4步)的子集,所以为紧。定理证毕

较初等的证明

以下证明,仅用到集合论、点集拓扑、泛函分析的基本概念。拓扑方面,需要熟悉使用拓扑空间中的积拓扑、两者与逐点收敛的关联(为方便起见,证明中也会给出部分细节)。同时也要了解,线性泛函为连续,当且仅当其在原点的某个邻域上有界(见次线性泛函英语sublinear functional)。

设向量空间的基域为,为实数系复数系两者之一。对任意实数,以

表示以原点为球心,半径为的闭球。在中,此为紧的闭集

极集的等价表示

由于中原点的邻域,可知亦是吸收集,即对每个,皆有正实数使。以

表示相对典范对偶系的极集。将证明,此极集,与定理提到,相对的极集,两者相等。

成立,是因为连续线性泛函按定义必是线性泛函。反之,欲证,设满足,即线性泛函在邻域有界。所以连续线性算子(换言之),从而有,即所求证。

至此,已证明[注 2],余下的证明中,需理解笛卡儿积与所有的映射构成的空间等同。仍需证明以下两个命题:

  1. 的闭子集。
    • 此处配备的是逐点收敛拓扑,等同于积拓扑
    • 其中表示以原点为球心,为半径的闭球。本证明开始时,对每个, 已定义为使的任意一个实数。特别地,对于,可以选

以上命题推出,的闭子集,而由吉洪诺夫定理,该积空间为紧[注 3](因为每个闭球皆为紧)。因为紧空间的闭子集仍为紧,所以有为紧集,从而证毕巴拿赫-阿劳格鲁定理的主要结论。

极集为闭

以下证明前述命题1。代数对偶总是积空间 的闭子集[注 4]。要证明中为闭,祇需证明集合

的闭子集,因为若有此结论,则中两闭集之交,故亦为闭集。

,又设中的网,在中收敛到。需要证明。换言之,要证对每个(或等价写成)。由于在标量域中,,且每项皆属于中的闭子集,此网的极限亦必属于该闭集,即。证毕命题1。

上述证明可以推广,以论证以下命题:

为任意集合,为拓扑空间闭子集,则在的逐点收敛拓扑中,为闭子集。

命题1为其特殊情况,取便得。

极集包含于紧空间之积

以下证明前述命题2。对任意,以表示到第个坐标的投影英语Projection (set theory)。欲证。换言之,欲对每个,证明

于是选定,设;要证。由的定义,,故。因为,线性泛函满足,所以由,可知

所以,即,证毕命题2。

序列版本

巴拿赫-阿劳格鲁定理有个特殊情况,对可分空间使用,并将“”换成“序列紧”。此时定理断言:

可分赋范向量空间的对偶中,闭单位球在弱*拓扑下是序列紧

可度量

实际上,可分空间的对偶的闭单位球上,弱*拓扑可度量,故紧与序列紧等价。

明确而言,设为可分赋范向量空间,而为连续对偶中的闭单位球。根据可分的定义,有某个可数稠密子集,列举为。则下式定义一个度量:对于

其中表示的对偶匹配,即将后一个元素代入到前一个元素求值。此度量下,为序列紧之事,用类似阿尔泽拉-阿斯科利定理的对角线证法,即可证明。

由于证明本质为构造性(而非如一般情况,用到非构造性的选择公理),在偏微分方程学中,有时使用序列巴拿赫-阿劳格鲁定理,构造偏微分方程或变分问题的解。举例,若有某个可分赋范空间,其对偶上有泛函,欲求最小值,则常见策略是先构造序列,使的泛函值趋向下确界,然后诉诸序列巴拿赫-阿劳格鲁定理,取出子序列,在弱*拓扑下收敛到极限,并确定使取最小值。最后一步通常要求在弱*拓扑下为(序列)下半连续

考虑另一个例子,设为实轴上,在无穷远处消失的连续函数组成的空间,则由里斯-马可夫表示定理为实轴上全体有限拉东测度的空间。此时序列巴拿赫-阿劳格鲁定理等价于赫利选择定理英语Helly selection theorem

证明

下证序列版本的巴拿赫-阿劳格鲁定理。

对每个,设

以及

因为是复平面的紧子集,积拓扑中亦为紧(根据吉洪诺夫定理)。

中的闭单位球,可以自然地看成的子空间:考虑映射

其为单射,且对于的弱*拓扑和的积拓扑而言,是连续映射。在像集上,映射的逆也连续。

欲完成定理的证明,只需证明映射的像为闭集。给定网中的网

等式定义的泛函,也在中。定理证毕。

推论

赋范空间

假设赋范空间,则其连续对偶空间具有对偶范数

  • 中的闭单位球为弱*紧[3]。相比之下,若为无穷维,则其闭单位球在范数拓扑中必不为紧(F·里斯定理英语F. Riesz theorem)。
  • 巴拿赫空间自反,当且仅当其闭单位球在弱拓扑下为紧。[3]
  • 自反巴拿赫空间,则中每个有界序列,都有弱收敛子列。(此为对某个弱可度量子空间应用巴拿赫-阿劳格鲁定理的结果。更简洁而言,是应用埃伯莱恩-什穆良定理英语Eberlein–Šmulian theorem。)举例,设Lp空间,其中。设中函数组成的有界序列。则存在子列,且有使得
    对于中的任意函数成立,其中。对于,没有相应的结论,因为不自反。

希尔伯特空间

  • 任意希尔伯特空间中,闭有界集必然弱相对紧英语Relatively compact subspace,即其在弱拓扑的闭包为弱紧,故每个有界网必有弱收敛子网(希尔伯特空间皆自反)。
  • 哈恩-巴拿赫定理,范数拓扑中的闭凸集,在弱拓扑中也是闭集,故希尔伯特空间或自反巴拿赫空间中,凸有界集的范数闭包必为弱紧。
  • 为希尔伯特空间,为其上有界算子的空间,则可以配备以下两种不同的拓扑:一则超弱拓扑英语ultraweak topology,即作为迹类算子空间的对偶所具备的弱*拓扑;二则弱算子拓扑英语weak operator topology,是使形如的映射皆连续的最弱的拓扑,此拓扑比超弱拓扑更弱。此定义下,中的闭有界子集,关于弱算子拓扑为相对紧。所以,算子的有界序列必有某个弱极限点。其推论是,配备弱算子拓扑或超弱拓扑时,满足海涅-博雷尔性质

与选择公理的关系

通常,会用到吉洪诺夫定理来证明巴拿赫-阿劳格鲁定理,所以要依赖于ZFC公理系统,尤其是选择公理。主流泛函分析中,许多结果皆依赖选择公理。然而,本定理在可分空间的情况(见§ 序列版本)并不依赖选择公理,该情况下有构造性证明。对于不可分的情况,超滤子引理英语ultrafilter Lemma比选择公理严格弱,但亦足以证明巴拿赫-阿劳格鲁定理。反之,巴拿赫-阿劳格鲁定理也推出超滤子引理,所以两者等价。

参见

  1. ^ 更明确地说,子集称为“弱*拓扑中的紧集”,意思是若配备弱*拓扑,而子集从空间继承子空间拓扑,则紧空间。将“紧集”换成其他性质(如“完全有界英语totally bounded”)亦同。
  2. ^ 表示原有的拓扑,则等式说明,的极集,仅取决于,其余拓扑结构可忽略不理。更明确说,假设上另一个向量空间拓扑,使得为拓扑向量空间,且集合仍为原点的邻域。记的连续对偶为,并记相对的极集为
    (此定义下,祇是旧的。)则,因为两者分别等于。换言之,极集的定义条件中,“连续对偶空间子集”一项可以无视,因为对所得的线性泛函集合毫无影响。然而,若上另一个向量空间拓扑 is a TVS topology on ,令不是原点的邻域,则相对的极集,不保证等于,所以不能如此无视拓扑
  3. ^ 由于每个也是豪斯多夫空间,只用到吉洪诺夫定理的紧豪斯多夫情况,便足以说明为紧。该特殊情况等价于超滤子引理英语ultrafilter lemma,而比选择公理严格弱。
  4. ^ “线性泛函”的要求,可以写成许多条等式如合取。每个要求皆是闭条件,即其对应的子集为闭集。而闭集的任意交仍为闭,所以线性泛函组成的集合为闭集。

参考资料

  1. ^ Rudin 1991, Theorem 3.15.
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 Narici & Beckenstein 2011,第235-240页.
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 Narici & Beckenstein 2011,第225-273页.
  4. ^ Köthe 1969, Theorem (4) in §20.9.
  5. ^ Meise & Vogt 1997, Theorem 23.5.
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