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布朗运动

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模拟的大颗粒尘埃粒子碰撞到更小的粒子,而其以不同的速度在不同方向移动的布朗运动。
模拟的大颗粒尘埃粒子碰撞到更小的粒子,而其以不同的速度在不同方向移动的布朗运动
粒子的立体空间进行布朗运动的示意图。
粒子的立体空间进行布朗运动的示意图。

布朗运动(Brownian motion)是微小粒子或者颗粒在流体中做的无规则运动。布朗运动过程是一种正态分布的独立增量连续随机过程。它是随机分析中基本概念之一。其基本性质为:布朗运动W(t)是期望为0、方差为t(时间)的正态随机变量。对于任意的r小于等于s,W(t)-W(s)独立于的W(r),且是期望为0、方差为t-s的正态随机变量。可以证明布朗运动是马尔可夫过程鞅过程伊藤过程

它是在公元1827年[1]英国植物学家罗伯特·布朗利用一般的显微镜观察悬浮于水中由花粉所迸裂出之微粒时,发现微粒会呈现不规则状的运动,因而称它布朗运动。布朗运动也能测量原子的大小,因为就是由中的水分子对微粒的碰撞产生的,而不规则的碰撞越明显,就是原子越大,因此根据布朗运动,定义原子的直径为10-8厘米。

定义

自1860年以来,许多科学家都在研究此种现象,后来发现布朗运动有下列的主要特性:[2]

  1. 粒子的运动由平移转移所构成,显得非常没规则而且其轨迹几乎是处处没有切线。
  2. 粒子之移动显然互不相关,甚至于当粒子互相接近至比其直径小的距离时也是如此。
  3. 粒子越小或液体粘性越低或温度越高时,粒子的运动越活泼。
  4. 粒子的成分及密度对其运动没有影响。
  5. 粒子的运动永不停止。

对于布朗运动之误解

值得注意的是,布朗运动指的是花粉迸出的微粒的随机运动,而不是分子的随机运动。但是通过布朗运动的现象可以间接证明分子的无规则运动。

一般而言,花粉之直径分布于30~50μm、最小亦有10μm之谱,相较之下,水分子直径约0.3nm(非球形,故依部位而有些许差异。),略为花粉的十万分之一。因此,花粉难以产生不规则振动,事实上花粉几乎不受布朗运动之影响。在罗伯特·布朗的手稿中,“tiny particles from the pollen grains of flowers”意味着“自花粉粒中迸出之微粒子”,而非指花粉本身。然而在翻译为诸国语言时,时常受到误解,以为是“水中的花粉受布朗运动而呈现不规则运动”。积非成是之下,在大众一般观念中,此误会已然根深蒂固。

花粉具备足够大小,几乎无法观测到布朗运动。
花粉具备足够大小,几乎无法观测到布朗运动。

日本,以鹤田宪次‘物理学丛话’为滥觞,岩波书店‘岩波理科辞典’[3]、花轮重雄‘物理学読本’、汤川秀树‘素粒子’、坂田昌一‘物理学原论(上)’、平凡社‘理科辞典’、福冈伸一著‘生物与无生物之间’,甚至日本的理科课本等等,皆呈现错误之叙述。

直到1973年横浜市立大学名誉教授植物学者岩波洋造在著书‘植物之SEX‐不为人知的性之世界’中,点出此误谬之前,鲜少有人注意。国立教育研究所物理研究室长板仓圣宣在参与制作岩波电影‘回动粒子’(1970年)时,实际摄影漂浮在水中之花粉,却发现花粉完全没有布朗运动。遂于1975年3月,以“外行人与专家之间”为题,解说有关布朗运动之误会。

爱因斯坦的理论

在1905年,爱因斯坦提出了相关理论。他的理论有两个部分:第一部分定义布朗粒子扩散方程式,其中的扩散系数与布朗粒子平均平方位移相关,而第二部分连结扩散系数与可测量的物理量。以此方式,爱因斯坦可决定原子的大小,一莫耳有多少原子,或气体的克分子量。根据阿伏伽德罗定律,所有理想气体在标准温度和压力下体积为22.414升,其中包含的原子的数目被称为“阿伏伽德罗常数”。由气体的莫耳质量除以阿伏伽德罗常数等同原子量。

爱因斯坦论证的第一部分是,确定布朗粒子在一定的时间内运动的距离。[4][来源请求] 经典力学无法确定这个距离,因为布朗粒子将会受到大量的撞击,每秒大约发生 1014 次撞击。[5] 因此,爱因斯坦将之简化,即讨论一个布朗粒子团的运动[来源请求]

他把粒子在一个的空间中,把布朗粒子在一维方向上的运动增量 (x) 视作一个随机值( 或者 x,并对其坐标进行变换,让原点成为粒子运动的初始位置)并给出概率密度函数 。另外,他假设粒子的数量有限,并扩大了密度(单位体积内粒子数量),展开成泰勒级数 。

第一行中的第二个等式是被 这个函数定义的。第一项中的积分等于一个由概率定义函数,第二项和其他偶数项(即第一项和其他奇数项)由于空间对称性而消失。化简可以得到以下关系关系:

拉普拉斯算子之前的系数,是下一刻的随机位移量 ,让 D 为质量扩散系数:

那么在 t 时刻 x 处的布朗粒子密度 ρ 满足扩散方程:

假设在初始时刻t = 0时,所有的粒子从原点开始运动,扩散方程的解

数学模型

定义

满足下列条件的我们称之为布朗运动

  1. 这个鞅是关于时间连续的。
  2. 他的平方减去时间项也是一个鞅。

是一个布朗运动当且仅当为鞅,且也为鞅.

其他定义

3000步的2维布朗运动的模拟。
3000步的2维布朗运动的模拟。
1000步的3维布朗运动模拟。
1000步的3维布朗运动模拟。

一维的定义

一维布朗运动是关于时间t的一个随机过程,他满足 :

  1. (独立增量)设时间ts满足t > s,增量独立于时间s前的过程
  2. (稳定增量和正态性)设时间ts满足t > s,增量服从均值为0方差为ts的正态分布。
  3. 几乎处处连续, 也就是说在任何可能性下, 函数是连续的.
  4. 通常假设。这种布朗运动我们称它为标准的。

等价定义

一维布朗运动是关于时间t的一个随机过程,他满足 :

  1. 是一个高斯过程,也就是说对于所有的时间列:,随机向量:服从高维高斯分布(正态分布)。
  2. 几乎处处连续。
  3. 对于所有st,均值,协方差.

高维定义

d维布朗运动,只需满足为独立的布朗运动。

换句话说,d维布朗运动 取值于,而它在空间上的投影均为布朗运动。

Wiener测度的定义

为从的连续函数空间,为概率空间。布朗运动为映射

          .

Wiener测度 (或称为布朗运动的分布)设为,是映射B关于的图测度。

换句话说, W上的一个概率测度,满足对于任何,有

备忘

  • 布朗运动是一种增量服从正态分布的莱维过程
  • 这个定义可以帮助我们证明布朗运动的很多特性,比如几乎处处连续,轨迹几乎处处不可微等等。
  • 我们可以利用二次变差的期望为时间来等价定义布朗运动。这个定义由Levy定理演化而来, 即: 轨迹连续且二次变差为的随机过程为布朗运动。

性质

  • 布朗运动的轨道几乎处处不可微:对于任何,轨道为一个连续但是零可微的函数。
  • 协方差
  • 布朗运动具有强马氏性: 对于停时T,取条件,过程为一个独立于的布朗运动。
  • 它的Fourier变换特征函数。可见,布朗运动是一个无偏,无跳跃,二项系数为1/2的Levy过程。
  • 布朗运动关于时间是齐次的: 对于s > 0, 是一个独立于的布朗运动。
  • -B是一个布朗运动。
  • (稳定性) 对于c > 0, 是布朗运动。
  • (时间可逆性)t=0之外是布朗运动。
  • (常返性)只有1维和2维布朗运动是常返的:
      如果,集合不是有界的,对于任何
      如果(几乎处处)。
  • (反射原理)

布朗运动的数学构造

利用Kolmogorov一致性定理

空间中一列实值函数。设:

这列函数满足:

,任意的,矩阵为对称半正定的。

利用Kolmogorov一致性定理,我们可以构造高斯过程,它的均值任意, 协方差为上面定义的

为不依赖于t的常数,上的示性函数。则:

在这个情况下,矩阵是对称且正定的。

我们称一个高斯过程为 布朗运动当且仅当均值为0,协方差为s。,当时, 称之为 标准的布朗运动.

利用随机过程

Donsker定理(1951)证明了逐渐归一化的随机游走弱收敛于布朗运动。

其中(Un, n ≥ 1) 独立同分布, 均值为0,方差为σ的随机变量序列。

利用傅立叶级数

设2列独立的正态随机变量序列。定义

为布朗运动。

参见

脚注

  1. ^ 部分纪录为1828年。
  2. ^ 李育嘉. 漫谈布朗运动. 
  3. ^ 该辞典已于1987年所发行之第四版中修正。
  4. ^ BROWNIAN MOTION. : 5. 
  5. ^ Feynman, R. The Brownian Movement. The Feynman Lectures of Physics, Volume I. 1964: 41Template:Hyphen1. 

外部链接

https://web.archive.org/web/20171109201456/http://www.sciencedirect.com/topics/pharmacology-toxicology-and-pharmaceutical-science/brownian-motion

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