希尔伯特-施密特算子

在数学中，一个希尔伯特-施密特算子(英语：Hilbert–Schmidt operator)（得名于大卫·希尔伯特和埃哈德·施密特）, 是希尔伯特空间H上的有界算子A，有有限的希尔伯特-施密特范数

${\displaystyle \|A\|_{HS}^{2}={\rm {Tr}}(A^{*}A):=\sum _{i\in I}\|Ae_{i}\|^{2}}$，

其中${\displaystyle \|\ \|}$是H上的范数，${\displaystyle \{e_{i}:i\in I\}}$是H上的一组标准正交基，Tr是非负自伴算子的迹。^[1][2]这里指标集不一定可数。这个定义不依赖于基底的选择，所以有

${\displaystyle \|A\|_{HS}^{2}=\sum _{i,j}|A_{i,j}|^{2}=\|A\|_{2}^{2}}$，

其中${\displaystyle A_{i,j}=\langle e_{i},Ae_{j}\rangle }$，${\displaystyle \|A\|_{2}}$为${\displaystyle A}$在p = 2时的Schatten范数（英语：Schatten norm）。在欧几里得空间中，${\displaystyle \|\ \|_{HS}}$也被称为弗罗贝尼乌斯范数，得名于费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯。

两个希尔伯特-施密特算子的乘积有有限的迹类范数；因此，如果A和B是两个希尔伯特-施密特算子，希尔伯特-施密特内积可以如下定义

${\displaystyle \langle A,B\rangle _{\mathrm {HS} }=\operatorname {Tr} (A^{*}B)=\sum _{i}\langle Ae_{i},Be_{i}\rangle }$。

希尔伯特-施密特算子构成一个H上的有界算子的Banach代数（英语：Banach algebra）的双边*理想。它们构成一个希尔伯特空间，可以证明自然等距同构到希尔伯特空间的张量积（英语：Tensor product of Hilbert spaces）

${\displaystyle H^{*}\otimes H}$，

其中H^∗是H的对偶空间。

希尔伯特-施密特算子的集合在范数拓扑下是闭集，当且仅当H是有限维空间。

一类重要的例子是希尔伯特-施密特积分算子（英语：Hilbert–Schmidt integral operator）。

希尔伯特-施密特算子是二阶核型算子（英语：Nuclear operator），因此是紧的。

另请参阅

• 弗罗贝尼乌斯内积（英语：Frobenius inner product）

参考文献

1. Weisstein, Eric W. (编). Hilbert–Schmidt Operator. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2016-12-13]. （原始内容存档于2019-05-20） （英语）.
2. Voitsekhovskii, M.I., H/h047350, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4