希尔伯特第二十一问题

希尔伯特第二十一问题是希尔伯特的23个问题之一：给定${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n}\in \mathbb {P} ^{1}(\mathbb {C} ),\Omega :=\mathbb {C} -\{P_{1},\ldots ,P_{n}\}}$及一个线性表示${\displaystyle \rho :\pi _{1}(\Omega ,x_{0})\rightarrow GL(m,\mathbb {C} )}$(给定${\displaystyle x_{0}\in \Omega }$），是否存在一组${\displaystyle \Omega }$上的Fuchs方程，使得其单值群由${\displaystyle \rho }$给出？

现况

此问题的答案决定于其表述：如果我们容许明显的奇异点（即：其单值群是平凡的），并在复流形上的向量丛及其联络的意义下理解Fuchs方程，则答案是肯定的；否则存在反例。这是L. Plemelj、G. Birkhoff、I. Lappo-Danilevskij、P. Deligne与A. Bolibrukh等数学家的工作。^{[1][2][3][4][5]}

此问题有时亦称为黎曼-希尔伯特问题。数学家柏原正树与Zoghman Mebkhout已借助D-模的抽象语言将此结果推广到高维情形，称作黎曼-希尔伯特对应。

文献

• A. Beauville, Equations différentielles à points singuliers réguliers d'apres Bolybrukh, Sem. Bourbaki , 1992/3（1993） pp. 103–120
• A. Borel Algebraic D-modules ISBN 0-12-117740-8
• P. Deligne, Equations differentials a points singuliers reguliers, Springer Lecture notes in mathematics 163 (1970).
• M. Kashiwara, Faiseaux constructibles et systems holonomes d'equations aux derivees partielles lineaires a points singuliers reguliers, Se. Goulaouic-Schwartz, 1979-80, Exp. 19.
• Z. Mebkhout, Sur le probleme de Hilbert-Riemann, Lecture notes in physics 129 (1980) 99-110.