幂集公理维基百科,自由的 encyclopedia 在数学中,幂集公理是公理化集合论的Zermelo-Fraenkel公理之一。 在Zermelo-Fraenkel公理的形式语言中,这个公理读做: ∀ A , ∃ P ( A ) , ∀ x : x ∈ P ( A ) ⟺ ( ∀ y : y ∈ x ⟹ y ∈ A ) {\displaystyle \forall A,\exists \;{{\mathcal {P}}(A)},\forall x:x\in {{\mathcal {P}}(A)}\iff (\forall y:y\in x\implies y\in A)} 或简写为: ∀ A , ∃ P ( A ) , ∀ x : x ∈ P ( A ) ⟺ x ⊆ A {\displaystyle \forall A,\exists \;{{\mathcal {P}}(A)},\forall x:x\in {{\mathcal {P}}(A)}\iff x\subseteq A} 换句话说: 给定任何集合A,有着一个集合 P ( A ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)} 使得,给定任何集合x,x是 P ( A ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)} 的成员,当且仅当x是A的子集。 通过外延公理可知这个集合是唯一的。我们可以称集合 P ( A ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)} 是A的幂集。所以这个公理的本质是: 所有集合都有一个幂集。 幂集公理一般被认为是无可争议的,它或它的等价命题出现在所有可替代的集合论的公理化中。
在数学中,幂集公理是公理化集合论的Zermelo-Fraenkel公理之一。 在Zermelo-Fraenkel公理的形式语言中,这个公理读做: ∀ A , ∃ P ( A ) , ∀ x : x ∈ P ( A ) ⟺ ( ∀ y : y ∈ x ⟹ y ∈ A ) {\displaystyle \forall A,\exists \;{{\mathcal {P}}(A)},\forall x:x\in {{\mathcal {P}}(A)}\iff (\forall y:y\in x\implies y\in A)} 或简写为: ∀ A , ∃ P ( A ) , ∀ x : x ∈ P ( A ) ⟺ x ⊆ A {\displaystyle \forall A,\exists \;{{\mathcal {P}}(A)},\forall x:x\in {{\mathcal {P}}(A)}\iff x\subseteq A} 换句话说: 给定任何集合A,有着一个集合 P ( A ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)} 使得,给定任何集合x,x是 P ( A ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)} 的成员,当且仅当x是A的子集。 通过外延公理可知这个集合是唯一的。我们可以称集合 P ( A ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)} 是A的幂集。所以这个公理的本质是: 所有集合都有一个幂集。 幂集公理一般被认为是无可争议的,它或它的等价命题出现在所有可替代的集合论的公理化中。