平分线

角平分线（英语：Angle Bisector）是几何学中的一个基本概念。它指的是从角的顶点出发，将角分成两个相等角的线段或射线。角平分线在几何问题中起着重要作用，无论是在理论证明中，还是在实际应用中，都能帮助我们理解和解决各种几何问题。

角平分线的定义

从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

角平分线的性质

1.角平分线把角分成两个一样角度的小角，都等于该角的一半

该性质的应用

${\displaystyle \because \ OM{\text{ 平分 }}\angle AOB}$

${\displaystyle \therefore \ \angle AOM=\angle MOB}$

2..角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。

即如图所示：

${\displaystyle OM}$平分${\displaystyle {\angle }AOB,P}$为${\displaystyle OM}$上一点${\displaystyle ,PE{\perp }OA}$于${\displaystyle E,PF{\perp }OB}$于${\displaystyle F,}$

则${\displaystyle PE=PF}$。

该性质的证明

利用三角形全等，可以很容易推得此结论。

下面作一下简单推导。

${\displaystyle {\because \quad }OM}$平分${\displaystyle {\angle }AOB,}$

${\displaystyle {\therefore \quad \angle }POE={\angle }POF.}$

${\displaystyle {\because \quad }PE{\perp }OA,\;PF{\perp }OB,}$

${\displaystyle {\therefore \quad \angle }OEP={\angle }OFP=90^{\circ }.}$

在${\displaystyle {\triangle }OEP}$与${\displaystyle {\triangle }OFP}$中${\displaystyle ,}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\angle }OEP={\angle }OFP,\\{\angle }POE={\angle }POF,\\OP=OP,\end{cases}}}$

${\displaystyle {\therefore \quad \triangle }OEP{\;\cong \triangle }OFP({\mbox{AAS}}).}$

${\displaystyle {\therefore \quad }PE=PF.}$

证毕。

角平分线的判定

判定

与其性质相对应的，就是角平分线的判定：

若有一点至角两边距离相等，则该点在该角的角平分线上。

即：

已知${\displaystyle {\angle }AOB,P}$为${\displaystyle OM}$上一点${\displaystyle ,\;PE{\perp }OA,\;PF{\perp }OB.}$

如果${\displaystyle PE=PF,}$那么${\displaystyle OM}$平分${\displaystyle {\angle }AOB.}$

证明

${\displaystyle {\because \quad }PE{\perp }OA,\;PF{\perp }OB,}$

${\displaystyle {\therefore \quad \angle }OEP={\angle }OFP=90^{\circ }.}$

在${\displaystyle \mathrm {Rt} {\triangle }OEP}$与${\displaystyle \mathrm {Rt} {\triangle }OFP}$中${\displaystyle ,}$

${\displaystyle {\begin{cases}OP=OP,\\PE=PF,\end{cases}}}$

${\displaystyle {\therefore \quad }\mathrm {Rt} {\triangle }OEP\;{\cong }\mathrm {Rt} {\triangle }OFP(\mathrm {HL} ).}$

${\displaystyle {\therefore \quad \angle }POE={\angle }POF,}$

${\displaystyle {\therefore \quad }OM}$平分${\displaystyle {\angle }AOB.}$

证毕。

内心

任意三角形ABC中，${\displaystyle {\angle }ABC}$、${\displaystyle {\angle }BCA}$、${\displaystyle {\angle }CAB}$ 角平分线交于一点I，则我们称此点I为三角形ABC的内心。

三角形的内心恒在图形内部，且到三角形之三边距离等长。

参见

• 角平分线长公式
• 垂直平分线
• 中线
• 高线