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平行公设

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如果α和β的内角和小于180°,则两直线不断延伸,在这一侧相交。
如果α和β的内角和小于180°,则两直线不断延伸,在这一侧相交。

平行公设(英语:Parallel postulate),也称为欧几里得第五公设,因是《几何原本》五条公设的第五条而得名。这是欧几里得几何一条与别不同的公理,比前四条复杂。公设是说:

如果一条线段与两条直线相交,在某一侧的内角和小于两直角和,那么这两条直线在不断延伸后,会在内角和小于两直角和的一侧相交。

假定所有欧几里得公设(当中包括平行公设)都成立的几何称为欧几里得几何。假定平行公设不成立的称为非欧几里得几何。不依赖于平行公设的几何,也就是只假设前四条公设的,称为仿射几何[1] 这只是一个与平行线的性质有关的公设。欧几里得已在《几何原本》第I卷定义第23条中定义过平行线了。[2]

欧几里得几何的有些性质与平行公设等价,也就是假设平行公设成立,可推导出这些性质,反过来假设这些性质的一项为公理,也可以推导出平行公设。其中最重要的一项,也是最常作为公理代替平行公设的,要算是苏格兰数学家约翰·普莱费尔提出的普莱费尔公理

给定一条直线,通过此直线外的任何一点,有且只有一条直线与之平行。

这里有个问题要提出来,即在证明第五公设时,平面是不加定义,如果平面作如下定义:满足第五公设的面定义为平面。这实际上可用公理法对平面作定义。如果有这定义,第五公设是自明的。这才符合直观。

历史

很多人尝试用前四条公设证明平行公设都不成功,反而创造了违反平行公设的双曲几何。最后由意大利数学家贝尔特拉米(Eugenio Beltrami)证明了平行公设独立于前四条公设。

等价命题

很多与平行公设等价的命题,似乎与平行线无关。有些性质更看似很明显,因而被一些声称证明了平行公设的人不经意用到了。这里是一些命题:

  1. 三角形内角和为两直角。
  2. 所有三角形的内角和都相等。
  3. 存在一对相似但不全等的三角形。
  4. 所有三角形都有外接圆。
  5. 四边形三个内角是直角,那么第四个内角也是直角。
  6. 存在一对等距的直线。
  7. 若两条直线都平行于第三条,那么这两条直线也平行。

参考文献

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