平衡集 - Wikiwand
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平衡集

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线性代数和相关的数学领域中,一个平衡集(balanced set)、圆集圆盘是在一个上加上绝对值函数向量空间上的集合,使得对于所有标量以及

其中

集合S平衡包(balanced hull)或平衡包络(balanced envelope)是包含S的最小平衡集。它可以由取所有包含S的平衡集的交集所构造出来。

例子

  • 赋范向量空间内的开或闭是平衡集。
  • 任何实或复向量空间子空间是平衡集。
  • 一个平衡集合笛卡儿积在对应的向量空间(相同的域K上)的积空间是平衡的。
  • 考虑复数域ℂ为一维向量空间,平衡集为ℂ本身、空集和以0为中心的开圆盘与闭圆盘(设想复数为平面上的点)。反之,在二维欧几里得空间内有更多平衡集,例如任何以(0,0)为中点的线段。因此,ℂ和ℝ2在向量空间结构上是完全不同的。
  • 若p是线性空间X上的半范数,对于任何常数c>0,集合{x ∈ X | p(x)≤c}是平衡的。

性质

  • 平衡集的并集交集是平衡集。
  • 平衡集的闭包是平衡集。
  • 根据定义(非性质),一个集合是绝对凸集当且仅当它是和平衡。
  • 所有平衡集都是对称集

参见

参考文献


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