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平面波

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在这篇文章内,矢量标量分别用粗体斜体显示。例如,位置矢量通常用 表示;而其大小则用 来表示。
一个平面波的波前行进于空间。
一个平面波的波前行进于空间。

在三维空间里,平面波(plane wave)是一种波动,其波阵面(在任何时刻,波相位相等的每一点所形成的曲面)是相互平行的平面。平面波的传播方向垂直于波前。假若平面波的振幅不是常数,例如,振幅是位置的函数,则称此种平面波为“非均匀平面波”。[1]:24-27

加以延伸,平面波这术语时常用来形容,在空间的一个局部区域里,近似于平面波的波动。例如,一个局部区域波源,像发射无线电波天线,所发射出的电磁波,在远场区英语far-field region可以近似为平面波。等价地说,对于在一个均匀介质内,波的传播距离超长于波长的案例,在几何光学的正确极限内,射线区域性地对应于近似平面波。

数学表述

在时间等于零时,正相移导致波向左移位。
在时间等于零时,正相移导致波向左移位。
随着t增加,波向右移动,给定点x处的值振荡正弦波。
随着t增加,波向右移动,给定点x处的值振荡正弦波
3D平面波的动画。 每种颜色表示波的不同的相位。
3D平面波的动画。 每种颜色表示波的不同的相位

数学来表述,波动方程

其中, 是描述波动的函数拉普拉斯算符 是波动传播的速度, 是位置, 是时间。

描述平面波的函数 波动方程的一种解答:

平面波 的形式为:

其中,虚数单位波矢角频率 是复值的振幅标量。

复函数的实部,则可以得到其物理意义。

注意到在任意时刻 ,波相位不变的曲面满足方程

或者,

其中, 是任意常数。

所有满足这方程的 形成一个与 相互垂直的平面,平行波的波前就是这种平面,所有的波前都与 相互垂直,都相互平行。

对于矢量的波动方程,像描述在弹性固体内的机械波电磁波的波动方程:

其中,电场磁场;

解答也很类似:

其中, 是复值的振幅矢量。

横波的振幅矢量垂直于波矢,像传播于均向性介质的电磁波。纵波的振幅矢量平行于波矢,像传播于气体或液体的声波

传播于某介质内,角频率与波矢之间的关系,可以以函数 表达,称为介质的色散关系。对于这介质,波的相速度

群速度

参阅

参考文献

  1. ^ Hecht, Eugene, Optics 4th, United States of America: Addison Wesley, 2002, ISBN 0-8053-8566-5 (英语) 

  • J. D. Jackson, Classical Electrodynamics (Wiley: New York, 1998 )。

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