幺半群 - Wikiwand
For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for 幺半群.

幺半群

维基百科,自由的百科全书

群论 群 基本概念 子群 · 正规子群 · 商群 · 群同态 · 像 · (半)直积 · 直和单群 · 有限群 · 无限群 · 拓扑群 · 群概形 · 循环群 · 幂零群 · 可解群 · 圈积 离散群 有限单群分类 循环群 Zn 交错群 An 散在群马蒂厄群 M11..12,M22..24康威群 Co1..3 扬科群 J1..4 费歇尔群 F22..24子怪兽群 B怪兽群 M 其他有限群 对称群, Sn 二面体群, Dn 无限群 整数, Z 模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z) 连续群 李群一般线性群 GL(n)特殊线性群 SL(n)正交群 O(n)特殊正交群 SO(n)酉群 U(n)特殊酉群 SU(n)辛群 Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 劳仑兹群庞加莱群 无限维群 共形群微分同胚群 环路群 量子群 O(∞) SU(∞) Sp(∞) 代数群 椭圆曲线线性代数群(英语:Linear algebraic group)阿贝尔簇(英语:Abelian variety) 查论编

抽象代数此一数学分支中,幺半群(英语:monoid,又称为单群、亚群、具幺半群或四分之三群)是指一个带有可结合二元运算单位元代数结构

幺半群在许多的数学分支中都会出现。在几何学中,幺半群捉取了函数复合的概念;更确切地,此一概念是从范畴论中抽象出来的,之中的幺半群是个带有一个对象的范畴。幺半群也常被用来当做计算机科学的坚固代数基础;在此,变换幺半群语法幺半群被用来描述有限状态自动机,而迹幺半群英语Trace monoid历史幺半群英语History monoid则是做为进程演算并行计算的基础。幺半群的研究中一些较重要的结论有克罗恩-罗德斯定理和星高问题英语Star height problem

定义

幺半群是一个带有二元运算 *: M × MM 的集合 M ,其符合下列公理:

  • 结合律:对任何在 M 内的abc , (a*b)*c = a*(b*c) 。
  • 单位元:存在一在 M 内的元素e,使得任一于 M 内的 a 都会符合 a*e = e*a = a

通常也会多加上另一个公理:

  • 封闭性:对任何在 M 内的 aba*b 也会在 M 内。

但这不是必要的,因为在二元运算中即内含了此一公理。

另外,幺半群也可以说是带有单位元半群

幺半群除了没有逆元素之外,满足其他所有的公理。因此,一个带有逆元素的幺半群和群是一样的。

生成元和子幺半群

幺半群 M子幺半群是指一个在 M 内包含着单位元且具封闭性(即若x,yN ,则 x*yN )的子集 N。很明显地, N 自身会是个幺半群,在导自 M 的二元运算之下。等价地说,子幺半群是一个子集 N ,其中 N=N* ,且上标 * 为克莱尼星号。对任一于 M 内的子集 N 而言,子幺半群 N* 会是包含着 N 的最小幺半群。

子集 N 被称之为 M生成元,当且仅当 M=N*。若 N 是有限的, M 即被称为是有限生成的。

可交换幺半群

运算为可交换的幺半群称之为可交换幺半群(或称为阿贝尔幺半群)。可交换幺半群经常会将运算写成加号。每个可交换幺半群都自然会有一个它自身的代数预序 ≤ ,定义为下: x ≤ y 当且仅当存在 z 使得 x+z=y 。可交换幺半群 M序单位是一个在 M 内的元素 u ,其中对任一在 M 内的元素 x 而言,总会存在一个正整数 n 使得 x ≤ nu。这经常用在 M偏序阿贝尔群 G正锥体的情况,在这种情况下我们称 uG 的序-单位。有接受任何交换幺半群,并把它变成全资格阿贝尔群的代数构造;这个构造叫做格罗滕迪克群。

部分可交换幺半群

运算只对某些元素而不是所有元素是交换性的的幺半群是迹幺半群;迹幺半群通常出现在并发计算理论中。

例子

  • 每一个单元素集合 {x}都可给出一个单元素(当然)幺半群。对定固的x,其幺半群是唯一的,当其幺半群公理在此例子必须满足x*x=x时。
  • 每一个都是幺半群,且每一个阿贝尔群都是可交换幺半群。
  • 每一半格都是等幂可交换幺半群。
  • 任一个半群S都可以变成幺半群,简单地加上一不在S内的元素e,并定义ee=e和对任一在S内的ses=s=se
  • 自然数N是加法及乘法上的可交换幺半群。
  • 以加法或乘法为运算,任何单作的元素
  • 矩阵加法矩阵乘法为运算,所有于一环内n×n矩阵所组成的集合

某些固定字母Σ的有限字元串所组成的集合,会是个以字元串串接为运算的幺半群。空字元串当成单位元。这个幺半群标记为Σ*,并称为在Σ内的自由幺半群

  • 给定一幺半群M,并考虑包含其所有子集幂集P(M)。这些子集的二元运算可以定义成S * T = {s * t : sS内且 tT内}。这使得P(M)变成了具有单位元{e}的幺半群。依同样的方法,一个群的幂集是一在群子集的乘积下的幺半群。
  • S为一集合。由所有函数SS所组成的集合会是在复合函数下的幺半群。其单位元为恒等函数。若S为有限的且有n个元素,其幺半群也会是有限的,且有nn个元素。
  • 广义化上述的例子,设C为一范畴且XC内的一对象。由X所有自同态组成的集合,标记为EndC(X),是一在态射复合下的幺半群。更多有关范畴论和幺半群的关系请见下述。
  • 连通和下的闭流形同态所组成的集合,其单位元为一般二维球面类。此外,当a标记为环面类且b标记为射影平面类,此一幺半群的每一个元素c都会有一唯一的表示式c=na+mb,其中n是大于等于零的整数,m为0、1或2,且会有3b=a+b
  • <f>是一个数为n的循环幺半群,亦即。然后,,其中。事实上,不同的k会给出不同的幺半群,且每个幺半群都会和另一个同构

此外,f也可以想成在点上的函数,给定如下

或等价地表示成

元素间的乘法即由复合函数给定。

注意当时,函数f的排列,并给出个数为n的唯一循环群

性质

在一幺半群内,可以定义一元素x的正整数幂:x1=xxn=x*...*x (乘上n次),其中n>1。幂的规则xn+p=xn*xp则是很明显的。

由定义可以证明其单位元e是唯一的。然后,对任一x,可以设x0e,则其幂的规则在非负幂中依然会是成立的。

逆元素:一元素x称为可逆,若存在一元素y,使得x*y = ey*x = e。此一元素y便称做x的逆元素。结合律使得其逆元素(若存在)是唯一的。

yx的逆元素,则可以定义x的负幂,以x−1=yx−n=y*...*y (乘上n次),其中n>1。如此幂的规则在所有整数就都成立了,这也是为什么x的逆元素通常会写做x−1。所有在幺半群M内的可逆元,和其自身的运算可组成一个。在这意思之下,每个幺半群都含有一个群。

但并不是每个幺半群都包含在一个群内的。例如,绝对可能有一个幺半群,其两个元素ab会有a*b=a的关系,即使b不是单位元。如此的幺半群是不可能包含于一个群内的, 因为在群里,两边一同乘a的逆元素,就会得到b = e的结果,但这不是真的。一个幺半群(M,*)若具有消去性,即表示对任何在M内的abca*b = a*c永远意指b = cb*a = c*a也永远意指b = c。一具有消去性的可交换幺半群总是可以包含于一个群内。这是为什么整数(加法运算下的群)可以由自然数(具有消去性的加法运算下的可交换幺半群)建立。但一具有消去性的不可交换幺半群则一定不可能包含于一个群之中。

若一幺半群有消去性且是有限的,它会是一个群。

一可逆幺半群为一幺半群,其任一在M内的a,总存在一唯一在M内的a-1,使得a=aa-1a且a-1=a-1aa-1

一幺半群G的子幺半群是G的子集H,其包含有单位元,且若xy属于H,则xy属于H。很清楚地,H本身也是个幺半群,在G的二元运算之下。

作用和算子幺半群

算子幺半群是一作用在集合X上的幺半群M。亦即,存在一运算$ : M × XX符合幺半群的运算。

  • 对任一在X内的xe$x=x
  • 对任何在M内的ab及在X内的xa $ (b $ x) = (a * b) $ x。) = (a * b) • x.

运算子幺半群也叫做作用(因为它们类似于群作用), 转移系统, 半自动机或变换半群。

幺半群同态

两个幺半群(M, *)和(M′, @)之间的同态是一个函数f : MM′,会有如下两个性质:

  • f(x*y) = f(x)@f(y) 对所有在M内的xy
  • f(e) = e

其中ee′分别是MM′的单位元。

不是每一个群胚同态都会是个幺半群同态,因为它不一定会维持单位元。和上述不同,群同态的情况则会成立:群论的公理确保每一两群之间的群胚同态都会维持住单位元。对于幺半群,这不是永远成立的,而必须有另外的要求。

双射幺半群同态称做幺半群同构

幺半群同余和商幺半群

幺半群同余是相容于幺半群乘积的等价关系。就是说它是子集

使得它是自反的、对称的和传递的(如同所有等价关系必须的那样),还要有如果 对于所有 M 中的 ,则有 的性质。

幺半群同余引发同余类

而幺半群运算 * 引发在同余类上的二元运算 :

它是幺半群同态。它明显的也是结合的,所以所有同余类的集合也是幺半群。这个幺半群叫做商幺半群,可以写为

一些额外的符号是公用的。给定子集 ,写

对于引发自 L 的同余类的集合。在这个表示法中,明显的 。但是一般的说, 不是幺半群。走相反的方向,如果 是商幺半群的子集,写

当然这只是 X 的成员的并集。一般的说, 不是幺半群。

明显的有

和范畴论的关系

类似群的结构
完全性 结合律 单位元 除法
幺半群
半群
环群
拟群
原群
广群
范畴

幺半群可视之为一类特殊的范畴。幺半群运算满足的公理同于范畴中从一个对象到自身的态射。换言之:

幺半群实质上是只有单个对象的范畴。

精确地说,给定一个幺半群 (M,*),可构造一个只有单个对象的小范畴,使得其态射由 M 的元素给出,而其合成则由 幺半群的运算 * 给出。

同理,幺半群之间的同态不外是这些范畴间的函子。就此意义来说,范畴论可视为是幺半群概念的延伸。许多关于幺半群的定义及定理皆可推广至小范畴。

幺半群一如其它代数结构,本身也形成一个范畴,记作 Mon,其对象是幺半群而态射是幺半群的同态。

范畴论中也有幺半对象的概念,它抽象地定义了何谓一个范畴中的幺半群。

参考文献

  • John M. Howie, Fundamentals of Semigroup Theory (1995), Clarendon Press, Oxford. ISBN 0-19-851194-9

外部链接

{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
幺半群
Listen to this article