序拓扑 - Wikiwand
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序拓扑

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数学上,序拓扑是可以定义在任意全序集上的拓扑结构。 此为将实数的拓扑结构推广到任意全序集上所得。 具有此种拓扑结构的拓扑空间称为序空间

如果 X 为全序集,则 X序拓扑由无界开区间

组成的准基生成,其中 a,b 取遍 X 的所有元素。这等价于,开区间

连同上述无界开区间组成序拓扑的一组,换言之, X 内的开集可写成该些开区间和无界开区间的(允许无穷)

若可对一个拓扑空间 X 的元素定义一个全序,使得该全序给出的序拓扑就是 X 自身的拓扑,则称 X可序化的X 上的序拓扑使 X 成为一个完全正规的豪斯多夫空间

 R, Q, Z, N 上的标准拓扑均为为序拓扑。

诱导拓扑

YX 的子集,则 Y 继承了 X 的全序。Y 因此具有序拓扑结构, 称为导出拓扑。作为 X 的子集,Y 还有一个子空间拓扑。子空间拓扑至少比诱导拓扑更精细,但一般情况下它们不相同。

例如,考虑有理数集的子集 Y ={-1} ∪ {1/n}nN 。 在子空间拓扑中,单元集 {-1} 在 Y 中是开集,但在诱导拓扑中,任何含有 -1 的开集都必须包含 Y (除有限个以外)的所有元素。

全序空间的子空间拓扑不一定可序化

虽然上述 Y ={-1} ∪ {1/n}nN 的子空间拓扑不是由 Y 的诱导排序产生,它仍是 Y 上的序拓扑;事实上,在子空间拓扑中,每一点都是孤立的(即,单元集 {y} 是 Y 的开集),故子空间拓扑是 Y 上的离散拓扑(使得每一个子集都是 Y 的开集),而任何集上的离散拓扑都是序拓扑。要定义 Y 的全序使得其产生的序拓扑是 Y 上的离散拓扑,只需修改 Y 上的诱导排序,使得 -1 是最大的元素,并保持其他元素的大小次序。于是,在新的排序(称为 <1 )中,有 1/n <1 -1 对任意 nN 均成立。这样,<1Y 中给出的序拓扑是离散的。

以下将定义一个序空间 X 及其子集 Z ,使得不存在 Z 上的全序给出一个序拓扑与 Z 的子空间拓扑完全一样。换言之,尽管该子空间拓扑为某序空间的子空间拓扑,其不为序拓扑。

为实数轴的子集。同上可知,Z 上的子空间拓扑不等于 Z 上诱导的序拓扑。且可证,Z 上的子空间拓扑不等于 Z 上的任何序拓扑。

用反证法。假设 Z 有一个严格全序 < ,使得 < 给出的序拓扑等于 Z 的子空间拓扑(注意,并未假定 < 是 Z 上的诱导排序,即 < 可以是任意一种新的全序)。区间也相应地按 < 理解,下同。 此外,如果 AB 是集合,则 表示:对任意 A 的元素 aB 的元素 b ,都有

M=Z \{-1} 为单位开区间,则 M 连通。若 m,nM m<-1<n ,M 的分隔,矛盾。因此,M<{-1} 或者 {-1}<M 。不妨设 {-1}<M 。因 {-1} 是 Z 的开集,存在 M 中的一点 p 使得 (-1, p ) 为空。又因 {-1}<M ,-1 是唯一小于 p 的元素,因此 pM 中最小的。但这样,M \ {p}=AB,其中 A B 是实轴上不相交的两个开集(从实轴上的开区间去除一点,剩下的是两个开区间)。由连通性,没有 Z \B 中的点在排序后介于 B 的两点之间,也没有 Z \A 中的点在排序后介于 A 的两点之间。因此,任何一个 A<BB<A. 又不妨设 A<B. 如果 aA 中任何一点,则 p<a ,且 (p, a)A. 又 (-1, a) = [p, a),因此 [p, a) 是开集。而 {p}∪A = [p, a)∪A,因此 {p }∪AM 的开子集,因此 M = ({p }∪A) ∪ BM 分割成两个不相交的开集,这与 M 连通矛盾。

拓扑结构为序拓扑的空间称为序空间,而序空间的子空间称为广义序空间。因此,以上例子 Z 是一个广义序空间,但不是一个序空间。

左、右序拓扑

类似的拓扑结构有:

  • X 上的右序拓扑,其具有 (a, ∞) 形式的开集(包括 (-∞, ∞) )。[1]
  • X 上的左序拓扑,其具有 (−∞, b) 形式的开集(包括 (-∞, ∞) )。

左序拓扑和右序拓扑可作为点集拓扑学上的一些反例。例如,有界集上的左序拓扑或右序拓扑是紧空间,但不是豪斯多夫的

集合论里,左序拓扑给出一个布尔代数上的标准拓扑。

序数空间

对于任何序数 λ ,序数集

具有自然的序拓扑结构。这种拓扑空间空间称为序数空间。(注意,按照集合论通常构造序数的方法,有 λ =[0,λ) 和 λ +1=[0,λ] )显然,当 λ 为无穷序数时,情况较复杂;否则,对于有限的序数,其序拓扑是简单的离散拓扑

当 λ = ω (最小的无穷序数)时,空间 [0,ω) 只是 N 及其往常的离散拓扑,而 [0,ω] 则是单点紧化N

当 λ = ω1 (即所有可数序数组成的集合)时,情况有所不同。元素 ω1 是子集 [0,ω1) 的极限点,但不存在 [0,ω1) 中的序列以 ω1 为极限。确切地说,[0,ω1]不是第一可数的。然而,子空间 [0,ω1) 是第一可数的,因为唯一无可数邻域系的点是 ω1. 其他性质包括

参见

参考资料

  1. ^ Steen, p. 74.
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