径向基函数

径向基函数（英语：Radial basis function，缩写为RBF）是一个取值仅依赖于到原点距离的实值函数（英语：Real-valued function），即${\displaystyle \phi (\mathbf {x} )=\phi (\|\mathbf {x} \|)}$。此外，也可以按到某一中心点c的距离来定义， 即${\displaystyle \phi (\mathbf {x} ,\mathbf {c} )=\phi (\|\mathbf {x} -\mathbf {c} \|)}$。任一满足${\displaystyle \phi (\mathbf {x} )=\phi (\|\mathbf {x} \|)}$的函数都可称作径向函数。其中，范数一般为欧几里得距离，不过亦可使用其他距离函数。

可以用于许多向函基数的和来逼近某一给定的函数。这一逼近的过程可看作是一个简单的神经网络。^[1][2]此外在机器学习中，径向基函数还被用作支持向量机的核函数。

类型

常见的径向基函数包括（定义${\displaystyle r=\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}\|}$）：

• 高斯函数：

${\displaystyle \phi (r)=e^{-(\varepsilon r)^{2}}}$

• 多二次函数（multiquadric）：

${\displaystyle \phi (r)={\sqrt {1+(\varepsilon r)^{2}}}}$

• 逆二次函数（inverse quadratic）：

${\displaystyle \phi (r)={\frac {1}{1+(\varepsilon r)^{2}}}}$

• 逆多二次函数（inverse multiquadric）：

${\displaystyle \phi (r)={\frac {1}{\sqrt {1+(\varepsilon r)^{2}}}}}$

• 多重调和样条（polyharmonic spline）：

${\displaystyle \phi (r)=r^{k},\;k=1,3,5,\dots }$

${\displaystyle \phi (r)=r^{k}\ln(r),\;k=2,4,6,\dots }$

• 薄板样条（thin plate spline，为多重调和样条的特例）：

${\displaystyle \phi (r)=r^{2}\ln(r)}$

参见

• 径向基函数网络
• 径向基函数核
• Kansa方法

参考文献

1. Radial Basis Function networks 互联网档案馆的存档，存档日期2014-04-23.
2. Broomhead, David H.; Lowe, David. Multivariable Functional Interpolation and Adaptive Networks (PDF). Complex Systems. 1988, 2: 321–355. （原始内容 (PDF)存档于2014-07-14）.