循环小数 - Wikiwand
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循环小数

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循环小数      1     7 =0.142857142857…
循环小数
1
7
=0.142857142857…
各种各样的
基本

延伸
其他

圆周率
自然对数的底
虚数单位
无穷大

循环小数,是从小数部分的某一位起,一个数字或几个数字,依次不断地重复出现的小数。可分为有限循环小数和无限循环小数。

定义

循环小数都为有理数小数表示形式,例:

性质

  • 一个分母为N的循环小数的循环节位数最多不超过N-1位。
  • 根据分数的情况分开讨论
1.除数a为的倍数时,有max(m,n)个不循环位数,其中为任意自然数,为非之其他数。
2.如果,a不是2或5的倍数,并且a与b互质,那么存在一个正整数e,e为的循环节位数,而e=[1]
表示可以整除a,或称与1同余)
事实上以该参考文献的定理一公式推导式子:来看,也成立,例如,两者循环小数一致,因为,只差别在商,余数皆为1(同余)故成立。
3.承接以上两点,当除数a可以质因数标准分解式表示成时,会有max(m,n)个不循环位数,和个循环节位数。
其中,, ,⋯,分别各有e1,e2,...,en个循环节位数,存在一个最小公倍数e1,e2,...,en
例:的循环节个数?
答:前三位不循环(2 和 5 的最高次方为 3),循环节个数是 48(因为的循环节位数为1,7的循环节位数为6,17的循环节位数为16,[1,6,16]=48)[2]

化为分数的方法

  1. 先看有几位“非循环节位数()”和“循环节位数()”,算出后,将摆于“分母”。
  2. 分子”则是将“非循环节部分”和“循环节部分”并为一个数字,将其减去“非循环节部分”,即,详细公式如下。
  3. 公式:
  4. 原理:
    1. ──①式。
    2. ──②式。
    3. ②-①⇒
  5. 范例:
    1. 两式相减得

计算方法

利用短除法可以将分数(有理数)转化为循环小数。

例如可以用短除法计算如下:

7|3.00000000000000000
  0.42857142857142857...

表示方法

在不同的国家地区对循环小数有不同的表示习惯。

  • 使用“上点”表示,如:

  • 使用“大括号”表示,如:

缺点

不唯一性

使用循环小数表示有理数的缺点在于表示方式的不唯一性,例如

进位制系统密切相关

由于循环小数与进位制系统密切相关,使得一些简单的有理数在循环小数表示法中的表示形式相当复杂。如

但在某些进位制当中反而因为循环节较短,使得看起来相当简单。如

参考资料

  1. ^ 康明昌. 循環小數 (PDF). 数学传播. 2001年9月, 25 (3) [2014-12-28]. 
  2. ^ 質數循環節的位數 (PDF). 

参见

外部链接

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