扭棱立方体

在几何学中，扭棱立方体（英语：snub cube^[1]），又称拟立方体（英语：cubus simus^[2][3]）是一种由38个面组成的阿基米德立体^[4]，由6个正方形和32个正三角形组成，共有60条边和24个顶点^[5]。

扭棱立方体

(按这里观看旋转模型)
类别	半正多面体
对偶多面体	五角二十四面体
识别
名称	扭棱立方体
参考索引	U12, C24, W17
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	snic
数学表示法
考克斯特符号 （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
施莱夫利符号	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3\\4\end{Bmatrix}}}$ sr{4,3}
威佐夫符号 （英语：Wythoff symbol）	| 2 3 4
康威表示法	sC
性质
面	38
边	60
顶点	24
欧拉特征数	F=38, E=60, V=24 （χ=2）
组成与布局
面的种类	正三角形 正方形
面的布局 （英语：Face configuration）	(8+24)个{3} 6个{4}
顶点图	3.3.3.3.4
对称性
对称群	O群
特性
对掌性
图像
3.3.3.3.4 （顶点图） 五角二十四面体 （对偶多面体） （展开图）
查 论 编

扭棱立方体的结构，红色是扭棱前的正方形面、蓝色三角形代表扭棱前立方体顶点、黄色代表扭棱所产生的新的面

性质

扭棱立方体是一个手性多面体（英语：Chirality (mathematics)）^[6]，也就是说，该多面体镜射之后会跟原本的型形状不同，无法借由旋转半周再回到原本的形状^[7][8][9]。扭棱立方体是一种阿基米德立体，其所有的面都是正多边形，且每个顶点都是4个三角形和一个正方形，其顶点图计为3.3.3.3.4或3⁴.4^[10]，由于所有顶点相等，因此也称为半正多面体。

体积与表面积

边长为单位长的扭棱立方体表面积为${\displaystyle 6+8{\sqrt {3}}}$，体积为：

${\displaystyle {\sqrt {\frac {613t+203}{9(35t-62)}}}\approx 7.889\,294\,677\,71,}$

其中t表示三波那契常数（英语：tribonacci constant）：

${\displaystyle {\tfrac {1+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}}{3}}\approx 1.839\,29}$。

由于扭棱立方体由6个正方形和32个正三角形组成，因此其表面积即6倍的正方形面积和32倍的正三角形面积。

二面角

扭棱立方体有两种不同角度的二面角，分别是三角形-三角形二面角和三角形-正方形二面角。其中三角形-三角形二面角余角的余弦值是三次方程${\displaystyle 27x^{3}+9x^{2}-15x-13}$的零点、三角形-正方形二面角余角的余弦值是六次方程${\displaystyle 27x^{6}-99x^{4}-129x^{2}-49}$的零点。

三角形-三角形二面角以反正割表示为：

${\displaystyle 2\sec ^{-1}({\sqrt {12R^{2}-3}})\approx 2.674448083}$

换算成角度约为153.23度或153度14分04秒。

三角形-正方形二面角为：

${\displaystyle \sec ^{-1}({\sqrt {12R^{3}-3}})+\sec ^{-1}({\sqrt {4R^{2}-1}})\approx 2.495531630}$

换算成角度约为142.98度或142度59分00秒。

其中R为边长为单位长之扭棱立方体外接球的半径。

正交投影

扭棱立方体的正交投影

建立于	正三角形面	正方形面	边
图像
投影对称性	[3]	[4]+	[2]
对偶图像

球面镶嵌

	以正方形为中心
正投影图（英语：Orthographic projection）	球极平面投影

几何关联

扭棱立方体可透过扭曲小斜方截半立方体的正方形面得到

扭棱立方体可透过将立方体的正方形面向外拉，使之不再相连，然后再将正方形面旋转一个角度，再将空隙以三角形补满而得

扭棱立方体

立方体

小斜方截半立方体

扭棱立方体

相关多面体及镶嵌

扭棱立方体是立方体经过扭棱变换后的结果，其他也是由立方体透过康威变换得到的多面体有：

对称性（英语：List_of_spherical_symmetry_groups）: [4,3], (*432)（英语：Octahedral symmetry）								[4,3]+ (432)	[1+,4,3] = [3,3] (*332)（英语：Tetrahedral symmetry）		[3+,4] (3*2)（英语：pyritohedral symmetry）
{4,3}	t{4,3}	r{4,3} r{31,1}	t{3,4} t{31,1}	{3,4} {31,1}	rr{4,3} s2{3,4}	tr{4,3}	c{4,3}	sr{4,3}	h{4,3} {3,3}	h2{4,3} t{3,3}	s{3,4} s{31,1}
		=	=	=					= or	= or	=
对偶多面体
V43	V3.82	V(3.4)2	V4.62	V34	V3.43	V4.6.8	V4.62/63	V34.4	V33	V3.62	V35

扭棱立体

原像	正四面体	立方体	正八面体	正十二面体	正二十面体
扭棱	扭棱四面体 sr{3,3}
		扭棱立方体 sr{4,3}	扭棱八面体 sr{3,4}	扭棱十二面体 sr{5,3}	扭棱二十面体 sr{3,5}
完全扭棱	完全扭棱四面体 β{3,3}	完全扭棱立方体 β{4,3}	二复合二十面体 β{3,4}	完全扭棱十二面体 β{5,3}	完全扭棱二十面体 β{3,5}

参见

• 立方体
• 截半立方体

参考文献

1. Wenninger, M. J. "The Snub Cube." Model 17 in Polyhedron Models. Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 31, 1989.
2. Kepler, J. Harmonices Mundi. 1619. Reprinted Opera Omnia, Lib. II. Frankfurt, Germany. [ASIN B0000DN8M2 网络书源ASIN B0000DN8M2]
3. Weissbach, B. and Martini, H. "On the Chiral Archimedean Solids." Contrib. Algebra and Geometry 43, 121-133, 2002.
4. Geometry Technologies. "Snub Cube.". scienceu.com. 1999-07-28. （原始内容存档于2000-03-08）.
5. Weisstein, Eric W. (编). Snub cubic. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
6. The Snub Cube. eusebeia. 2016-09-09 [2016-08-22]. （原始内容存档于2012-03-16）.
7. Coxeter, H. S. M., Kaleidoscopes: Selected Writings, John Wiley and Sons: 282, 1995, ISBN 9780471010036.
8. Archimedean Solids: Snub Cube (laevo). dmccooey.com. （原始内容存档于2016-03-24）.
9. Archimedean Solids: Snub Cube (dextro). dmccooey.com. （原始内容存档于2016-03-24）.
10. Cundy, H. and Rollett, A. "Snub Cube. 3^4.4." §3.7.7 in Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., p. 107, 1989. ISBN 978-0906212202

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因, 扭棱立方体 （参阅阿基米德立体） 于MathWorld（英文）
• 埃里克·韦斯坦因. Snub cubic graph. MathWorld.