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拉克斯-米尔格拉姆定理

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拉克斯-米尔格拉姆定理数学泛函分析的定理,以彼得·拉克斯和阿瑟·米尔格拉姆命名。这定理可用来藉弱形式求解偏微分方程,因此主要用作有限元法的理论基础。

叙述

  • 是实希尔伯特空间,其内积记作,导出范数
  • 双线性型,使得
  • 连续
  • 上强制(有称为-椭圆性):
  • 上的连续线性型

那么存在唯一的,使得对所有都有

而且如果对称的,那么中唯一的元素,使得以下泛函最小值对所有,即:

证明

一般情形

套用里斯表示定理到连续线性型上,可知存在唯一的,使得对任意成立。

对所有,映射上连续线性型,因此同样可知存在唯一的,使得对任意成立。易知算子 是一个上连续线性自同态。由此可把表示成如下等价形式:

要证明此命题,只要证得是从双射。首先证明它是单射,再证它是满射

的强制性,使用柯西-施瓦茨不等式,得到对任何

从而知对任何

(*)。

这证明了是单射。

要证明满射,考虑算子内的

不等式(*)表示,如柯西序列,那么内的柯西序列。由的完备性,收敛至。因连续,得出收敛至

因此为中的子空间,由投影定理可知

再设元素,从定义有,因此

故得。所以,证得是满射。

自同态是双射,故在内存在唯一的使得,且可以由得出。

附注

不用求出,有其范数的上界估计

其中表示对偶空间的范数。

对称情形

如果双线性型对称,那么对所有有:

是命题(1)的唯一解,有

的强制性有:

,从上式有对任意成立,因而得到的结果。

应用

这定理是有限元法的基础。实际上,若不在内求,而是在的有限维子空间内求,那么

  • 如果对称,以内积的投影。
  • 给出,上述问题化为求解线性方程组:

其中

泛函分析中的定理

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