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拉格朗日方程

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约瑟夫·拉格朗日
约瑟夫·拉格朗日

拉格朗日方程Lagrange equation),约数学物理学家约瑟夫·拉格朗日而命名,是分析力学的重要方程,可以用来描述物体的运动,特别适用于理论物理的研究。拉格朗日方程的功能相当于牛顿力学中的牛顿第二定律

定义

假设一个物理系统符合完整系统的要求,即所有广义坐标都互相独立,则拉格朗日方程成立:

其中,拉格朗日量是广义坐标,是时间的函数,广义速度

导引

分析力学里,有三种方法可以导引出拉格朗日方程。最原始的方法是使用达朗贝尔原理导引出拉格朗日方程(参阅达朗贝尔原理);更进阶层面,可以从哈密顿原理推导出拉格朗日方程(参阅哈密顿原理);最简明地,可以借用数学变分法欧拉-拉格朗日方程来推导:

设定函数

其中,自变量independent variable)。

使泛函取得局部平稳值,则在区间内,欧拉-拉格朗日方程成立:

现在,执行下述变换:

  • 设定独立变量为时间
  • 设定函数为广义坐标
  • 设定泛函为拉格朗日量

则可得到拉格朗日方程

  • 为了满足这变换的正确性,广义坐标必须互相独立,所以,这系统必须是完整系统。
  • 拉格朗日量是动能减去位势,而位势必须是广义位势。所以,这系统必须是单演系统。

半完整系统

主项目:参阅半完整系统

一个不是完整系统的物理系统是非完整系统,不能用上述形式论来分析。假若,一个非完整系统的约束可以以方程表示为

则称此系统为半完整系统[1]

半完整系统可以用拉格朗日形式论来分析。更具体地说,分析半完整系统必须用到拉格朗日乘子

其中,是未知函数。

由于这个广义坐标中,有个相依的广义坐标,泛函不能直接被变换为拉格朗日量;必须加入拉格朗日乘子,将泛函变换为。这样,可以得到拉格朗日广义力方程:

其中,广义力

个广义力运动方程加上个约束方程,给出个方程来解个未知广义坐标与个拉格朗日乘子。

实例

这个段落会展示拉格朗日方程的两个应用实例。第一个实例展示出,用牛顿方法与拉格朗日方法所得的答案相同。第二个实例展示出拉格朗日方法的威力,因为这问题比较不适合用牛顿方法来分析。

自由落体

思考一个粒子从静止状态自由地下落。由于重力作用于此粒子,应用牛顿第二定律,可以得到运动方程

其中,x-坐标垂直于地面,由初始点(原点)往地面指。

这个结果也可以从拉格朗日形式论得到。动能

位势

所以,拉格朗日量

代入拉格朗日方程,

运动方程是

与牛顿方法的运动方程相同。

具有质量的移动支撑点的简单摆

思考一个简单摆系统。系统的x-轴平行于地面,y-轴垂直于x-轴,指向地面。摆锤P的质量是,位置是。摆绳的长度是。摆的支撑点Q的质量是。这支撑点Q可以沿着一条平行于x-轴的直线移动。点Q的位置是。摆绳与y-轴的夹角是。那么,动能是

位势为

所以,拉格朗日量是

两个约束方程为

将约束方程代入拉格朗日量方程,

特别注意,在这里,广义坐标是。应用拉格朗日方程,经过微分运算,对于坐标,可以得到

运动方程为

由于拉格朗日量不显含广义坐标,称可略坐标,而其相对应的广义动量是常数

对于坐标,可以得到

所以,运动方程为

假如用牛顿第二定律,则必须仔细地辨明所有的相关作用力。这是一项既困难又容易出错的工作。

相关条目

参考文献

  1. ^ Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 46–47. ISBN 0201657023 (英语). 
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