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拉马努金求和

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拉马努金求和(英语:Ramanujan summation)是由数学家斯里尼瓦瑟·拉马努金所发明的数学技巧,指派一特定值予无限发散级数。尽管拉马努金求和不是传统的的概念,其在探讨发散级数上极有用处;因为在此情形下,传统的求和方式是无法定义的。拉马努金求和的成果可用在复分析量子力学弦理论等领域。

求和法

拉马努金求和法本质上是部分和的性质,而非整个数列级数和性质,后者在此情形通常是无法定义的。若我们同时采用欧拉-麦克劳林求和公式以及伯努利数的修正规则,可得:

拉马努金写道:[1]p趋近于无限大,

其中C是此级数的特定常数,然而拉马努金并未指定其解析延拓以及积分的上下限。将两式作比较,并假设R趋近于0,而x趋近于无限大;当一函数 f(x) 在x = 0不发散:

其中拉马努金假设。若设,可得到寻常收敛级数的求和式。当一函数 f(x) 在x = 1不发散,可得:

C(0)因此被提议用作发散数列的和。在此建立了求和与积分之间的桥梁。

发散级数的和

下文中,表示“拉马努金求和法的值”。此式最早出现在拉马努金的笔记本,笔记本中没有任何注记指示出此为一种新求和法的范例。

举例来说,1 - 1 + 1 - 1 + ⋯为:

拉马努金计算了一些知名发散级数的“和”。注意到拉马努金和并非一般级数和的概念[2][3],亦即部分和不会收敛到这个值。

又如1 + 2 + 3 + 4 + ⋯的拉马努金和

延伸至正偶数幂,可得:

而奇数幂的结果则与伯努利数有关:

目前有提议采用C(1)取代C(0)作为拉马努金求和的结果,以其可保证一个级数允许唯一的拉马努金求和结果。[4]

如此拉马努金求和的定义(标作)与早期拉马努金求和C(0)不相同,也与收敛级数求和的结果不相同;但其带有有趣的性质:若R(x)趋近于一个有限值极限,当x → +1,则此级数是收敛的,而可得

特别是如下例子:

其中γ欧拉-马斯刻若尼常数

拉马努金求和可以延伸至积分:举例来说,运用欧拉-麦克劳林求和公式可写出

此为ζ函数正规化演算积分的自然延伸。

迭代方程式为有限的,因为当

其中

(参见:黎曼ζ函数正规化英语Zeta function regularization。)

要是,拉马努金求和可以应用在量子场论重整化方法,得到有限值的结果。

相关条目

参考文献

  1. ^ Bruce C. Berndt, Ramanujan's Notebooks 互联网档案馆存档,存档日期2006-10-12., Ramanujan's Theory of Divergent Series, Chapter 6, Springer-Verlag (ed.), (1939), pp. 133-149.
  2. ^ The Euler-Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, and real-variable analytic continuation. [20 January 2014]. 
  3. ^ Infinite series are weird. [20 January 2014]. 
  4. ^ Éric Delabaere, Ramanujan's Summation, Algorithms Seminar 2001–2002, F. Chyzak (ed.), INRIA, (2003), pp. 83–88.
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