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拐点

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y=x3的函数图形,原点是其拐点
y=x3的函数图形,原点是其拐点
反正切函数的拐点
反正切函数的拐点

拐点(英语:Inflection point)或称反曲点,是一条连续曲线改变凹凸性的点,或者等价地说,是使切线穿越曲线的点。

决定曲线的拐点有助于理解曲线的外形,这在描绘曲线图形时特别有用。

定义

若曲线图形在一点由凸转凹,或由凹转凸,则称此点为拐点。直观地说,拐点是使切线穿越曲线的点。

若该曲线图形的函数在某点的二阶导数为零或不存在,且二阶导数在该点两侧符号相反,该点即为函数的拐点。这是寻找拐点时最实用的方法之一。

拐点的充要条件

拐点的必要条件:设内二阶可导,,若是曲线的一个拐点,则。 比如,,有,但是0两侧全是凸,所以0不是函数的拐点。

拐点的充分条件:设内二阶可导,,若在两侧附近异号,则点为曲线的拐点。否则(即保持同号),不是拐点。

分类

拐点可以根据为零或不为零,进行分类:

  • 如果为零,此点为拐点的驻点,简称为鞍点
  • 如果不为零,此点为拐点的非驻点

例如:的点是一个鞍点,切线为轴,切线正好将图像分为两半。

参数曲线的拐点

平面参数曲线的拐点是使其曲率变号的点,此时曲率中心(居于曲线凹侧)从曲线的一侧换至另一侧。

双正则点与拐点

双正则点是使得参数曲线的一阶与二阶微分(它们是向量)线性无关的点。在双正则点上,曲线既无拐点亦非直线。在非双正则点上曲率为零,但是不一定有变号。在寻找参数曲线的拐点时,我们通常先以微分找出非双正则点,继之研究其局部性状,以判定是否为拐点。

:某些作者偏好将拐点定义为“使一阶与二阶微分平行的点”,在此定义下,切线不一定在该点穿越曲线本身。

代数曲线的拐点

上的平面代数曲线,其拐点定义为一平滑点,使得该点切线点的相交重数

注意到一条曲线与点相切的充要条件是相交重数。当时,代数曲线的拐点定义等价于上节注记中的广义定义。

参见

文献

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