拓扑向量空间 - Wikiwand
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拓扑向量空间

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拓扑向量空间泛函分析研究中的一个基本结构。顾名思义就是要研究具有拓扑结构向量空间

拓扑向量空间主要都是函数空间,在上面定义的拓扑结构就是函数列收敛的条件。

希尔伯特空间巴拿赫空间是典型的例子。

定义

带有上述两个性质的原点的邻域族唯一确定一个拓扑向量空间。在这个向量空间内的任何其他点的邻域系统是通过平移获得的。
带有上述两个性质的原点的邻域族唯一确定一个拓扑向量空间。在这个向量空间内的任何其他点的邻域系统是通过平移获得的。

一个拓扑向量空间 X 是布于一个拓扑域 K (通常取实数或复数域)上的向量空间,其上带有拓扑结构使得向量加法 X × XX 与标量乘法 K × XX 为连续映射。

:某些作者也要求 X豪斯多夫空间,更有要求其为局部凸空间者(例如 Fréchet 空间)。一个拓扑向量空间是豪斯多夫空间的充分条件是该空间为 空间。

布于 K 上的拓扑向量空间范畴通常记为 TVSKTVectK,其对象为布于 K 上的拓扑向量空间,态射则为连续的 K-线性映射。拓扑向量空间的同构是既是同胚也是线性的映射。

例子

所有赋范向量空间都是拓扑向量空间的例子。因此所有巴拿赫空间希尔伯特空间也是这些例子。

函数空间

数学分析中应用的拓扑向量空间主要是函数空间。较常见的例子有:

  • :拓扑空间 上的连续函数空间,其拓扑由一族半范数 定义,其中 遍取 中的紧子集。
  • :拓扑空间 上的紧支撑集连续函数空间,拓扑由范数 定义。
  • Lp空间:测度空间 上满足 的函数空间,拓扑由范数 定义,其中
  • 索伯列夫空间偏微分方程理论中常用的空间,详见主条目索伯列夫空间
  • 分布:一种广义函数理论,用以定义并研究偏微分方程的广义解。全体分布构成一个拓扑向量空间。
  • 施瓦兹空间:又称快速递减函数空间,定义为 ,其中 多重指标,其中的半范数由 给出。此空间的重要性主要在于傅立叶变换理论。

积向量空间

当赋予乘积空间后,拓扑向量空间的家族的笛卡儿乘积都是拓扑向量空间.例如,Xf : RR函数的集合. X可以被乘积空间RR来确定的,并带有自然的乘积空间.有了这个拓扑,X成了拓扑向量空间,称呼为逐点收敛的空间.命名的原因是如果(fn) 是X集合内元素的序列而对于所有实数x fn(x)都有一个极限 f(x) ,那么fnX集合内有一个极限f.这个空间就是完整但不能赋范.

拓扑结构

向量空间对加法构成阿贝尔群,拓扑向量空间的加法逆运算 是连续的(因为 ),因此拓扑向量空间可视为可交换的拓扑群

特别是:拓扑向量空间是一致空间,因此可以谈论完备性一致收敛一致连续。向量运算(加法与标量积)是一致连续的,因此拓扑向量空间的完备化仍为拓扑向量空间,原空间在其中是个稠密的线性子空间。

向量运算不只连续,实则还是同胚,因此我们可以从原点附近的一组局部重构整个空间的拓扑。局部基可由以下两种开集组成:

  • 吸收集;事实上,原点的任何邻域都是吸收集。
  • 平衡集

一个拓扑向量空间可度量化的充要条件是:(一)它是豪斯多夫空间(二)原点有一组可数的局部

拓扑向量空间之间的线性函数若在某一点连续,则在整个定义域上连续。一个线性泛函连续的充要条件是其核为闭子空间。

有限维向量空间有唯一的豪斯多夫拓扑,因此任何有限维拓扑向量空间都同构于 (带上确界范数:)。对于豪斯多夫拓扑向量空间,有限维等价于局部紧。

拓扑向量空间的种类

在应用中,我们常考虑具有一些附带拓扑性质的空间,以下是一些常见的种类,大致以其性质之“良好”与否排序。

  • 局部凸拓扑向量空间:每一点都有一组由凸集构成的局部。一个空间是局部紧当且仅当其拓扑可由一组半范数定义。局部紧性对某些“几何”论证(例如哈恩-巴拿赫定理)至关重要。
  • F-空间:由一个具平移不变性的度量定义的完备拓扑向量空间,例子包括Lp空间(p > 0)。
  • 弗雷歇空间:局部凸的 F-空间。许多有趣的函数空间都是弗雷歇空间。
  • 核空间:使得映至任何巴拿赫空间的有界算子均为核算子的弗雷歇空间。
  • 赋范向量空间半赋范向量空间:顾名思义,即其拓扑由一范数或一族半范数定义的拓扑向量空间。在赋范向量空间中,一算子的连续性等价于有界性。
  • 巴拿赫空间:完备赋范向量空间。泛函分析学大部奠基于此。
  • 自反巴拿赫空间:使得自然映射 为同构的巴拿赫空间。非自反空间的重要例子之一是 空间。
  • 希尔伯特空间:拓扑由一内积定义的拓扑向量空间。虽然这类空间可能是无穷维的,大部分有限维上的几何论证仍可照搬至此。
  • 欧几里得空间:即有限维的豪斯多夫拓扑向量空间。

对偶空间

拓扑向量空间 连续对偶空间定义为所有连续线性泛函构成的空间 ,其拓扑可定义为使对偶配对 为连续映射的最粗拓扑(称为弱-*拓扑)。当 巴拿赫空间时, 可以藉算子范数在 上定义更细的拓扑,然而弱-*拓扑具有一些紧致性定理(巴拿赫-阿劳格鲁定理),因而在应用中仍相当重要。

文献

  • A Grothendieck: Topological vector spaces, Gordon and Breach Science Publishers, New York, 1973. ISBN 978-0-677-30020-7
  • G Köthe: Topological vector spaces. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 159, Springer-Verlag, New York, 1969. ISBN 978-0-387-04509-2
  • Schaefer, Helmuth H. Topological vector spaces. New York: Springer-Verlag. 1971. ISBN 978-0-387-98726-2. 
  • Lang, Serge. Differential manifolds. Reading, Mass.–London–Don Mills, Ont.: Addison-Wesley Publishing Co., Inc. 1972. 
  • F Trèves: Topological Vector Spaces, Distributions, and Kernels, Academic Press, 1967. ISBN 978-0-486-45352-1.
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