在拓扑学和其相关的数学领域里,拓扑比较是指在同一个给定的集合上的两个拓扑结构之间的关系。在一给定的集合上的所有拓扑会形成一个偏序集合。此一序关系可以用来做不同拓扑之间的比较。
证明
根据定理的条件,对所有集合 有:
- (a)
以下将逐条检验拓扑的定义,来验证 的确是 的拓扑:
(1)
若 的确是 的拓扑,那由拓扑的定义可以得到 ,这样从式(a)右方就可以得到 。
(2) 则
若 ,从式(a)左方有:
所以有:
所以根据拓扑的定义有:
这样从式(a)右方就可以得到 。
(3) 则
若 ,那对任意 ,从式(a)左方有:
所以有:
所以根据拓扑的定义有:
所以从式(a)右方可以得到 。
综上所述,来验证 的确是 的拓扑。
根据以上的定理,可以做以下的定义:
- 初拓扑-可使集合上的一组映射皆为连续的拓扑之中,最粗糙的拓扑。
- 终拓扑-可使集合上的一组映射皆为连续的拓扑之中,最精细的拓扑。