# 指数函数

## 概要

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n))\right)^{n))$

${\displaystyle \exp(x)=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n))\right)^{n))$

${\displaystyle \exp(x+y)=\exp(x)\cdot \exp(y)}$

## 形式定义

${\displaystyle e^{x}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots }$

${\displaystyle e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{x \over n}\right)^{n}.}$

${\displaystyle x\geq 0}$是确定的非负实数。定义

${\displaystyle t_{n}=\left(1+{\frac {x}{n))\right)^{n},\ s_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {x^{k)){k!)).}$

{\displaystyle {\begin{aligned}t_{n}&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{\frac {x^{k)){n^{k))}=1+x+\sum _{k=2}^{n}{\frac {n(n-1)(n-2)\cdots [n-(k-1)]x^{k)){k!\,n^{k))}\\[8pt]&=1+x+{\frac {x^{2)){2!))\left(1-{\frac {1}{n))\right)+{\frac {x^{3)){3!))\left(1-{\frac {1}{n))\right)\left(1-{\frac {2}{n))\right)+\cdots \\[8pt]&{}\qquad \cdots +{\frac {x^{n)){n!))\left(1-{\frac {1}{n))\right)\cdots \left(1-{\frac {n-1}{n))\right)\leq s_{n}\end{aligned))}

（设${\displaystyle x\geq 0}$得到最终的不等式）故此

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }t_{n}\leq \limsup _{n\to \infty }s_{n}=e^{x))$

## 性质

${\displaystyle y=b^{x))$对各种底数b的图像，分别为绿色的10、红色的${\displaystyle e}$、蓝色的2和青色的${\displaystyle {\frac {1}{2))}$

${\displaystyle e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n))\right)^{n))$

${\displaystyle \!\,e^{0}=1}$
${\displaystyle \!\,e^{1}=e}$
${\displaystyle \!\,e^{x+y}=e^{x}e^{y))$
${\displaystyle \!\,e^{xy}=\left(e^{x}\right)^{y))$
${\displaystyle \!\,e^{-x}={1 \over e^{x))}$

${\displaystyle \!\,b^{x}=(e^{\ln b})^{x}=e^{x\ln b}.}$

${\displaystyle b^{\frac {m}{n))={\sqrt[{n}]{b^{m))}.}$

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x))=x^{\frac {1}{n))=e^{\frac {\ln x}{n)).}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx))b^{x}=\lim _{h\to 0}{\frac {b^{x+h}-b^{x)){h))=\lim _{h\to 0}{\frac {b^{x}b^{h}-b^{x)){h))=b^{x}\left(\lim _{h\to 0}{\frac {b^{h}-1}{h))\right).}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx))\left(1+{\frac {x}{n))\right)^{n}=\left(1+{\frac {x}{n))\right)^{n-1}.}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx))e^{x}=e^{x}.}$

## 导数和微分方程

${\displaystyle {d \over dx}e^{x}=e^{x))$

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx))e^{x}&={\frac {d}{dx))\left(1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n)){n!))\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {nx^{n-1)){n!))=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n-1)){(n-1)!))\\[6pt]&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k)){k!)),{\text{ where ))k=n-1\\[6pt]&=e^{x}\end{aligned))}

• 函数的图像的在任何一点上的斜率是这个函数在这一点上的高度。
• 函数在${\displaystyle x}$的增长速率等于在这个函数在${\displaystyle x}$上的值。
• 这个函数是微分方程${\displaystyle y'=y}$的解。
• exp是泛函导数不动点

${\displaystyle {d \over dx}b^{x}=(\ln b)b^{x))$

${\displaystyle {d \over dx}e^{f(x)}=f'(x)e^{f(x)))$.

## ${\displaystyle e^{x))$的连分数

${\displaystyle e^{x}=1+{\cfrac {x}{1-{\cfrac {x}{x+2-{\cfrac {2x}{x+3-{\cfrac {3x}{x+4-\ddots ))))))))}$

${\displaystyle e^{z))$的广义连分数收敛更快速:[14]

${\displaystyle e^{z}=1+{\cfrac {2z}{2-z+{\cfrac {z^{2)){6+{\cfrac {z^{2)){10+{\cfrac {z^{2)){14+\ddots ))))))))}$

${\displaystyle e^{\frac {x}{y))=1+{\cfrac {2x}{2y-x+{\cfrac {x^{2)){6y+{\cfrac {x^{2)){10y+{\cfrac {x^{2)){14y+\ddots ))))))))}$

${\displaystyle e^{2}=1+{\cfrac {4}{0+{\cfrac {2^{2)){6+{\cfrac {2^{2)){10+{\cfrac {2^{2)){14+\ddots \,))))))))=7+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{11+\ddots \,))))))))}$

## 在复平面上

${\displaystyle e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n)){n!))}$

${\displaystyle e^{z}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {z}{n))\right)^{n))$

${\displaystyle \!\,e^{a+bi}=e^{a}(\cos b+i\sin b)}$

• ${\displaystyle \!\,e^{z+w}=e^{z}e^{w))$
• ${\displaystyle \!\,e^{0}=1}$
• ${\displaystyle \!\,e^{z}\neq 0}$
• ${\displaystyle \!\,{d \over dz}e^{z}=e^{z))$
• ${\displaystyle \,(e^{z})^{n}=e^{nz},n\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \!\,z^{w}=e^{w\ln z))$

${\displaystyle (e^{z})^{w}\neq e^{zw))$，而是 ${\displaystyle (e^{z})^{w}=e^{(z+2\pi in)w}\,}$ 多值于整数n 之上。

• z = Re(ex+iy)
• z = Im(ex+iy)

## 矩阵和巴拿赫代数

${\displaystyle \ e^{x+y}=e^{x}e^{y}{\mbox{ if ))xy=yx}$
${\displaystyle \ e^{0}=1}$
${\displaystyle \ e^{x))$${\displaystyle \ e^{-x))$是互倒的
${\displaystyle \ e^{x))$在点${\displaystyle \ x}$的导数是从${\displaystyle \ u}$${\displaystyle \ ue^{x))$的线性映射。

${\displaystyle \ f(t)=e^{tA))$

${\displaystyle \ f(s+t)=f(s)f(t)}$
${\displaystyle \ f(0)=1}$
${\displaystyle \ f'(t)=Af(t)}$

## 注释与引用

1. John J O'Connor; Edmund F Robertson. The number e. School of Mathematics and Statistics. University of St Andrews, Scotland. [2011-06-13].
2. ^ 假定利率为100%，借期1年本息合为200%，利息平均每月约8.3%。按复利可以只借1个月，1个月未能还款，本息合计为借款，如此1年下来本息合计约为261.3%。如果借贷者能在1个月内归还，则不需要付1整年的利息，放贷者快速收回资金可以借给他人；拖到1年归还，放贷者得到比正常放贷1年要高的利息；1年后按复利计算本息快速增长，借贷者可能就还不起了，而放贷者获得抵押品。甚至可以逐日借款，这样1年的收益高于261.3%，但增大不多，而借贷者可以更快还清少付利息，e 就是设立更小还款时限增加获利，能达到的1年极限收益，即约为 271.8%。应区分抵押贷款高利贷
3. ^ Eli Maor, e: the Story of a Number, p.156.
4. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n))\right)^{n}=\lim _{n\to \infty }\left(\left(1+{\frac {1}{n))\right)^{n}\right)^{x))$
前者成为定义因其有导数上的重要性质。
5. ^ Ernest William Hobson, John Napier and the invention of logarithms, 1614, Cambridge: The University Press, 1914
6. ^ Boyer, Carl B., 14, section "Jobst Bürgi", A History of Mathematics, New York: John Wiley & Sons, 1991, ISBN 978-0-471-54397-8
7. ^ ${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n))\right)^{x}=\left(\left(1+{\frac {1}{n))\right)^{n}\right)^{\frac {x}{n))}$
在最初的概念下，底数是接近1的数，而对数是整数；经过简单变换后，底数变大了，成为接近数学常量e的数，而对数变小了，成为 x/n。
8. ^ 选取接近e的底数b，对数表涉及的bx为单调增函数，定义域为0到1而值域为1到b；选取接近1/e的底数b，对数表涉及的bx为单调减函数，定义域为0到∞而值域为1到0。
9. ^ ${\displaystyle 10^{\frac {1}{2^{54))))$这个接近1的数为基础。
10. ^ Kline, M. (1998) Calculus: An intuitive and physical approach, section 12.3 "The Derived Functions of Logarithmic Functions.", pp. 337 ff, Courier Dover Publications, 1998, ISBN 0-486-40453-6
11. ^ {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{h\to 0}\left(b^{h}-1\right){\frac {1}{h))&=\lim _((\frac {1}{n))\to 0}\left(b^{\frac {1}{n))-1\right)n\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }n(b^{1/n}-1)\\&=\ln(b).\\\end{aligned))}
这里的自然对数定义为欧拉提出，是他定义的指数函数的逆函数
12. ^ ${\displaystyle {\frac {d}{dx))\left(1+{\frac {x}{n))\right)^{n}={\frac {n}{n+x))\left(1+{\frac {x}{n))\right)^{n}.}$
这个函数的导数与函数值的比为 n/(n+x)，当n→∞时， n/(n+x)=1，等式两端就是指数函数的导数和指数函数。
13. ^ 通过${\displaystyle y(t)=e^{t},y(0)=K}$${\displaystyle f(t,y(t))=y(t)}$
14. ^ "A.2.2 The exponential function." L. Lorentzen and H. Waadeland, Continued Fractions, Atlantis Studies in Mathematics, page 268.

### 证明

1. ^ ${\displaystyle e^{i\pi }=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {\pi }{n))i\right)^{n))$${\displaystyle \left(1+{\frac {\pi }{n))i\right)^{n))$极限形式：
• 8个三角形
• 16个三角形
• e+1=0

故有欧拉恒等式${\displaystyle e^{i\pi }+1=0.\,\!}$