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扩展实数线

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扩展实数线又称广义实数(英语:extended real number),由实数线加上得到(注意并不是实数),写作[−∞, +∞]ℝ ∪ {−∞, +∞}。在不会混淆时,符号 +∞常简写成。扩展的实数线在研究数学分析,特别是积分时非常有用。

扩展

对任意实数,定义,扩展的实数轴就成了一个全序集。这种集合有种非常好的性质,就是其所有子集都有上确界下确界:这是一个完备格。全序关系在上引入了拓扑。在这个拓扑中,集合邻域,当且仅当它包含集合,这里是某个实数。的邻域类似。是个紧致豪斯多夫空间,与单位区间同胚

上的算术运算可以部分地扩展到,如下:

通常不定义。同时也不定义为(因为这样忽视了),这些规则是根据无穷极限的性质确定的。

注意在这些定义下,不是,也不是

性质

经过上述定义,扩展的实数轴仍有很多实数的性质:

  • 相等或同时没有定义。
  • 相等或同时没有定义。
  • 相等或同时没有定义。
  • 相等或同时没有定义。
  • 若都有定义则相等。
  • 都有定义,则
  • 都有定义,则

通常只要表达式都有定义,所有算术性质在上都成立。

使用极限,一些函数可以自然地扩展到。例如可以定义等。

参见

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