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数列

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数列(英语:number sequence)是由数字组成的序列,也即是全序排列的多个。数列及其相关术语常用于有关递推规律的研究。数列也是级数理论的基本概念。

基本概念

数列是一列两个以上按顺序排列的,所组成的序列,记为 ak{ak(ak)

其中 nZ+Z+ 是正整数集。

虽然 {ak 的记号很常见,但这与无序的集合符号相同[1],容易引起混淆,因此这里使用记号 ak

数列中的每一个数称为这个数列的“项”。a1 为数列的“第一项”、a2 为“第二项”、 an 则为“第 n 项”。项的总个数为数列的“项数”。数列中的第一项常称为“首项”,最后一项则称为“末项”。注意,有些数列会设为 ,其中 nNN自然数集。换句话说,数列以第零项 a0 作为首项。

一些有无穷个项的数列,比如全体正整数数列 ⟨ 1, 2, 3, 4, 5, ... ⟩ ,只有首项,没有末项。按照伯特兰·罗素在《西方哲学史》书中的说法,人们也可以定义没有首项的无穷数列:把正整数数列倒过来排列即可。但是这种没有首项的数列,在数学上没有大的用处。[2]

数列是特殊的序列,全部由数字组成。序列则范围更广,可以由有序的一系列数字、一系列函数、一系列矢量、一系列矩阵或一系列张量组成,等等。但有的微积分教材用序列一词来称呼数列,读者需要自己留意。

数列可被视作函数 f : Z+Y

其中 Y 是包含数列中各个项的到达域。从这个角度看,数列能视作一种特殊的函数,称为“整标函数”。[3]

数列中各个项的称为“级数”。但级数的概念的推广至数列以外的序列,比如函数序列的函数项级英语function series

分类

单调性

  • 若对所有 nZ+an+1an ,则称数列 ak 为“递增数列”。把 换成 > ,则称为“严格递增数列”。
  • 若对所有 nZ+an+1an ,则称数列 ak 为“递减数列”。把 换成 < ,则称为“严格递减数列”。
  • 若对所有 nZ+an+1 = an ,则称数列 ak 为“常数数列”。

有限性

  • 若数列 的项数有限,则 ak 为“有限数列”。
  • 若数列 的项数无限,则 ak 为“无穷数列”。

有界性

  • 若对所有 nZ+ManN ,则称数列 ak 为“有界数列”。 M 称为“下界”, N 称为“上界”。
  • 若对数列 ak ,上述的 MN 不存在,则称数列 ak 为“无界数列”。

收敛性

对于含有无穷多项的数列 ak ,我们可以为其定义“数列的极限”为常数 L

  • 若上述极限存在,则称该数列是“收敛数列”,且收敛于 L
  • 若上述极限不存在,则称该数列为“发散数列”。

重要的特殊数列

  • 等差数列:是一种特殊数列。数列中,从第二项起,每一项与前一项的差相等。
例如数列
这就是一个等差数列,因为第二项与第一项的差和第三项与第二项的差相等,都等于的差也等于2。我们把像2这样的后一项与前一项的差称之为公差,符号为,但是可为0。
若设首项,则等差数列的通项公式为
  • 多阶等差数列:又称高阶等差数列,大陆地区则称之为“素数相关数列”。
把一个数列的所有后项与前一项之差组成一个新的数列,如果这个新的数列是普通等差数列,原数列就称为二阶等差数列。
由此类推,把一个数列的所有后项与前一项之差组成一个新的数列,再把这个新的数列的所有后项与前一项之差组成另一个新的数列,如此进行下去,直到最后的数列如果是普通等差数列,那么原数列就是多阶等差数列。
普通等差数列可以视为一阶等差数列,因而常数数列实际就是零阶等差数列。
  • 等比数列:是一种特殊数列。它的特点是:从第2项起,每一项与前一项的比都是一个常数。
例如数列
这就是一个等比数列,因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等,都等于2,的比也等于2。我们把像2这样的后一项与前一项的比称之为公比,符号为
若设首项,则等比数列的通项公式为
  • 斐波那契数列:是一种特殊数列。它的特点是:首两项均是1,从第3项起,每一项均为前两项的和。
以数学符号表示,即,且对于
斐波那契数列的通项公式为
  • 正负相间:
  • 隔项有零:

数列的求和

通常对第1项到第项求和,记为。此求和符号是由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉使用和推广的。

一个特殊数列求和:奇数数列。1,3,5,7,9,...。其和为项数的平方。例如:1+3=22,1+3+5=32

通项公式的求解

通常,我们从实际问题中会先得到一个递推关系式,但是递推关系式可能会有点复杂,难以观察出数列中某一项的项数和具体大小之间的规律。所以我们希望寻找方法,以求化简数列的递推关系式,从而得到简单明了的一般项公式。一般项公式也叫通项公式。以下是一些常见的递推式化简方法。通项公式的求解在积分学线性代数概率论组合数学趣味数学数学物理数学建模数值分析分形等领域中都会遇到。遗憾的是,没有一种方法是万能的,所以通项公式的求解仍然是一个具有一定技巧性的工作。完全求不出通项公式、只能进行估算的情形也是经常出现的。

数学归纳法

求出该数列的前数项,归纳其通项公式,然后用数学归纳法证明公式正确。

数学归纳法是最基本的方法,但对观察和归纳的能力要求比较高。如果猜不出规律,此法则无法使用。

逐差全加

给定数列差时逐差全加,例如:

,求

逐商全乘

给定数列比时逐差全乘,例如:

,求

从和式求通项

如果已知数列和的公式,那么通项的求解非常容易。由可知

看成一个数列,可以先对进行求解,然后得出

换元法

换元法用于从形式上简化表达式,以突出问题的本质。换元法一般不单独使用,而是和其它方法结合使用。中学数学中常用的有对数换元法、三角函数换元法,还有用得很少的双曲函数换元法。

不动点法

对于形如齐次分式的递推关系,可利用不动点来推导。

已知,其中都是常数,求
求这类数列的通项公式,一般的方法就是将之化成一个新的等比数列

  • 如果,那么这个式子就一定可以化成下面的形式:


求出,那么数列就是一个等比数列,从而求出通项公式。

  • 如果,那么这个递推关系是不可能化成等比数列的。实际上,若,那么它就是等差数列了。还要注意的一种特殊情况就是的时候,这实际上就是一个等和数列,从这个问题我们可以看到,等和数列也可以化成一个等比数列。
  • 除此之外也可以这样将之化成等比数列:



两边相减就有:,如此就化成了一个等比数列。

已知,其中都为常数,求
与上述数列一样,它们一定可以化成下面的形式:

求出对应系数,于是就转化成了前面那种形式,然后就可以求出数列的通项公式,然后求出的通项公式。实际上这是一种逐步化简的方法。

其它方法

其它常用方法包括导数求通项法、组合数学中的母函数方法、特征方程法,这些一般是在大学课程或是部分高中的进阶课程中学到。其中特征方程法专门用于线性递推关系式的化简,与求解线性微分方程的特征方程法非常类似。

参见

参考资料

  1. ^ Stover, Christopher and Weisstein, Eric W. "Set." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Set.html
  2. ^ 伯特兰·罗素。《西方哲学史》。北京出版社。2007年10月。
  3. ^ 谭杰锋,郑爱武。《高等数学》。清华大学出版社、北京交通大学出版社。2007年7月。ISBN 978-7-8108-2647-1
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