斜埃尔米特矩阵 - Wikiwand
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斜埃尔米特矩阵

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线性代数 A = [ 1 2 3 4 ] {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix))} 向量 · 向量空间  · 行列式  · 矩阵 向量 标量 · 向量 · 向量空间 · 向量投影 · 外积 · 内积 · 数量积 · 向量积 矩阵与行列式 矩阵 · 行列式 · 线性方程组 · 秩 · 核 · 迹 · 单位矩阵 · 初等矩阵 · 方块矩阵 · 分块矩阵 · 三角矩阵 · 非奇异方阵 · 转置矩阵 · 逆矩阵 · 对角矩阵 · 可对角化矩阵 · 对称矩阵 · 反对称矩阵 · 正交矩阵 · 幺正矩阵 · 埃尔米特矩阵 · 反埃尔米特矩阵 · 正规矩阵 · 伴随矩阵 · 余因子矩阵 · 共轭转置 · 正定矩阵 · 幂零矩阵 · 矩阵分解 (LU分解 · 奇异值分解 · QR分解 · 极分解 · 特征分解) · 子式和余子式 · 拉普拉斯展开 · 线性空间与线性变换 线性空间 · 线性变换 · 线性子空间 · 线性生成空间 · 基 · 线性映射 · 线性投影 · 线性无关 · 线性组合 · 线性泛函 · 行空间与列空间 · 对偶空间 · 正交 · 特征向量 · 最小二乘法 · 格拉姆-施密特正交化 · 查论编

一个方块矩阵A斜埃尔米特矩阵反埃尔米特矩阵,如果它的共轭转置A*也是它的负数。也就是说,它满足以下的关系:

A* = −A

或者,如果A = (ai,j):

对于所有的ij

例子

例如,以下的矩阵是斜埃尔米特矩阵:

性质

  • 斜埃尔米特矩阵的特征值全是纯虚数。更进一步,斜埃尔米特矩阵都是正规矩阵。因此它们是可对角化的,它们不同的特征向量一定是正交的。
  • 斜埃尔米特矩阵的主对角线上的所有元素都一定是纯虚数。
  • 如果A是斜埃尔米特矩阵,那么iA埃尔米特矩阵
  • 如果A, B是斜埃尔米特矩阵,那么对于所有的实数a, baA + bB也一定是斜埃尔米特矩阵。
  • 如果A是斜埃尔米特矩阵,那么对于所有的正整数kA2k都是埃尔米特矩阵。
  • 如果A是斜埃尔米特矩阵,那么A的奇数次方也是斜埃尔米特矩阵。
  • 如果A是斜埃尔米特矩阵,那么eA酉矩阵
  • 一个矩阵和它的共轭转置的差()是斜埃尔米特矩阵。
  • 任意一个方块矩阵C都可以写成一个埃尔米特矩阵A和一个斜埃尔米特矩阵B的和:

参见

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斜埃尔米特矩阵
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