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斯涅尔定律

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威理博·斯涅尔
威理博·斯涅尔
折射机制示意图。
折射机制示意图。

光波从一种介质传播到另一种具有不同折射率的介质时,会发生折射现象,其入射角与折射角之间的关系,可以用斯涅尔定律Snell's Law)来描述。斯涅尔定律是因荷兰物理学家威理博·斯涅尔而命名,又称为“折射定律”。

光学里,光线跟踪科技应用斯涅尔定律来计算入射角与折射角。在实验光学与宝石学里,这定律被应用来计算物质的折射率。对于具有负折射率负折射率超材料metamaterial),这定律也成立,允许光波因负折射角而朝后折射。

斯涅尔定律表明,当光波从介质1传播到介质2时,假若两种介质的折射率不同,则会发生折射现象,其入射光和折射光都处于同一平面,称为“入射平面”,并且与界面法线的夹角满足如下关系:

其中,分别是两种介质的折射率分别是入射光、折射光与界面法线的夹角,分别叫做“入射角”、“折射角”。

这公式称为“斯涅尔公式”。

斯涅尔定律可以从费马原理推导出来,也可以从惠更斯原理平移对称性麦克斯韦方程组推导出来。

历史

伊本·沙尔的手稿页面复印,证明他确实发现了折射定律。
伊本·沙尔的手稿页面复印,证明他确实发现了折射定律。
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相等,则入射线与折射线满足斯涅尔定律。
按照沙尔作图法诠释,假设将长度比率调整为与相等,则入射线与折射线满足斯涅尔定律。

最早有系统研究折射问题的学者是住在埃及的希腊人托勒密。西元二世纪,在著作《光学》(Optics)第五卷里,他提出了他的折射实验与定律。但是,他从做实验得到的数据与结论并不准确,没有给出正弦定律。在那时候,希腊学者不清楚正弦的概念。[1][2]

巴格达宫廷效劳的伊朗学者伊本·沙尔(Ibn Sahl)在984年的专著《论点火镜子与透镜》(On Burning Mirrors and Lenses)里最先正确地描述折射定律。[3][4]他应用这定律来找出能够将光聚焦而不会产生几何像差透镜的形状。这种透镜称为曲折透镜(anaclastic lens)。[5]很可惜的是其它学者并没有注意到他的研究结果。之后很多年,人们都是从托勒密的错误理论开始研究折射。[1]

十一世纪初,阿拉伯学者海什木重做托勒密的实验。他在著作《光学书》(Kitab al-Manazir, Book of Optics)里,从做实验得到的数据,粗略地总结出一些定则。他也没有得到正弦定律。[6]

1602年,英国天文学者托马斯·哈里奥特又重新发现了折射定律,可是,他并没有发表他的结果,虽然他曾经在与约翰内斯·开普勒通信中提到这件事。[7]1621年,斯涅尔推导出一个数学等价形式,但是在他有生之年,学术界并不知道他的成就。勒内·笛卡儿在1637年专著《屈光学》(Dioptrics)里,独立地推导出这个定律,并且用他的理论解析了一系列光学问题。在这导引里,他做了两个假定,第一个假定是光的传播速度与介质密度呈正比,第二个假定是光速度沿着界面方向的分量守恒。1662年,皮埃尔·德·费马发表了另一种导引,从他的版本的最小作用量原理推导出同样的定律,但是费马的假定是光的传播速度与介质密度呈反比。因此,他激烈地反驳笛卡儿的解答,认为笛卡尔的假定有误。[1]1802年,托马斯·杨做实验发现,当光波从较低密度介质传播到较高密度介质时,光波的波长会变短,他因此推论光波的传播速度会降低。[8]

根据历史学者以撒·福雪斯(Issac Vossius)在著作《De natura lucis et proprietate》里的叙述,笛卡儿先阅读了斯涅尔的论文,然后调制出自己的导引。有些历史学者觉得这指控太过夸张,难以置信;但是很多历史学者都存疑曾经发生了这回事,费马与惠更斯分别多次重复地谴责笛卡儿的行为缺失。尽管这不名誉事件所造成的风波,在法国,斯涅尔定律被称为“笛卡儿定律”,或“斯涅尔-笛卡儿定律”

1678年,克里斯蒂安·惠更斯在著作《光论》(Traité de la Lumiere)里表明,应用惠更斯原理,可以从光的波动性质,解释或推导出斯涅尔定律。

从费马原理推导

光线从点Q传播至点O时,会被半圆形或混合形镜子反射,最终抵达点P。

费马原理又称为“最短时间原理”:光线传播的路径是需时最少的路径[9]。费马原理更正确的版本应是“平稳时间原理”。对于某些状况,光线传播的路径所需的时间可能不是最小值,而是最大值,或甚至是拐值。例如,对于平面镜,任意两点的反射路径光程是最小值;对于半椭圆形镜子,其两个焦点的光线反射路径不是唯一的,光程都一样,是最大值,也是最小值;对于半圆形镜子,其两个端点Q、P的反射路径光程是最大值;又如最右图所示,对于由四分之一圆形镜与平面镜组合而成的镜子,同样这两个点Q、P的反射路径的光程是拐值。[8]

设定介质1、介质2的折射率分别为,光线从介质1在点O传播进入介质2,为入射角,为折射角。

光线从介质1的点Q,在点O传播进入介质2,发生折射,最后抵达介质2的点P。
光线从介质1的点Q,在点O传播进入介质2,发生折射,最后抵达介质2的点P。

从费马原理,可以推导出斯涅尔定律。光线在介质1与介质2的速度 分别为

其中,真空光速。

由于介质会减缓光线的速度,折射率都大于

如右图所示,从点Q到点P的传播时间

根据费马原理,光线传播的路径是所需时间为极值的路径,取传播时间对变数的导数,设定其为零:

根据正弦函数定义,可以得到传播速度与折射角的关系式:

将传播速度与折射率的关系式代入,就会得到斯涅尔定律:

从惠更斯原理推导

按照惠更斯作图法,平面波的直线传播与球面波的径向传播。
按照惠更斯作图法,平面波的直线传播与球面波的径向传播。

惠更斯原理表明,波前的每一点可以视为产生球面次波的点波源,而以后任何时刻的波前则可看作是正切这些次波的包络。假设传播速度为的波前,在时间为平面,在这波前的每一点所产生的球面次波,在时间已传播了距离,由于正切这些球面次波的包络只能为平面,所以波前在时间为平面。波前传播的方向垂直于这两个相互平行的平面。

惠更斯的分析
惠更斯的分析

如右图所示,光波从介质1传播进入介质2,其入射角、折射角分别为,传播速度分别为,假设。在时间时,光波的波前会包含点和点 的位置,标记这时的波前为。假设时间之间的间隔为常数,则以下几个直线段之间的长度相等关系成立:

从波前的每一个点波源发射出的球面次波,分别在介质1、介质2的传播速度为必须正切这些球面次波。特别而言,在时间间隔之后,波前在介质1的部分必须平行于相距的波前,而波前在介质2的部分必须正切从点波源发射出的半径为的球面次波。所以,在通过界面时,会出现弯曲的波前

由于光波传播的方向垂直于波前,所以在介质1、介质2里,波前与界面之间的夹角分别等于入射角、折射角。直线段长度之间的关系为

应用折射率的定义式:

其中,光速

总结,斯涅尔定律成立:

其中,分别为介质1、介质2的折射率

从平移对称性推导

假设对某系统整体做一个平移之后,这系统仍旧保持不变,则称此系统具有平移对称性。从平移对称性,可以推导出斯涅尔定律。[10]这是建立于横向均匀界面不能改变横向动量的道理。由于波矢光子的动量成正比,假设介质1、介质2的界面垂直于z-方向,则在介质1、介质2里的光波横向传播方向必须保持不变:

因此,

应用折射率的定义式:

其中,是光波的角频率

总结,斯涅尔定律成立:

微观至原子尺寸,虽然没有任何界面是完全均匀的,假若精细至光波波长尺寸,传播区域可以估视为均匀,则平移对称性仍不失为优良近似。

从麦克斯韦方程组推导

几何光学的三条基础定律为

  • 第一定律:入射波、反射波、折射波的波矢,与界面的法线共同包含于“入射平面”。
  • 第二定律:反射角等于入射角。这定律称为“反射定律”。
  • 第三定律:。这定律称为“斯涅尔定律”,又称为“折射定律”。

光波是电磁辐射,必须满足麦克斯韦方程组与伴随的边界条件,其中一条边界条件为,在边界的临近区域,电场平行于边界的分量必须具有连续性。假设边界为xy-平面,则在边界,

其中,分别为在入射波、反射波、折射波(透射波)的电场平行于边界的分量。

折射与反射机制示意图。
折射与反射机制示意图。

假设入射波是频率为的单色平面波,则为了在任意时间满足边界条件,反射波、折射波的频率必定为。设定的形式为

其中,分别是入射波、反射波、折射波的波矢,分别是入射波、反射波、折射波的波幅(可能是复值)。

为了在边界任意位置满足边界条件,相位变化必须一样,必须设定

因此,

不失一般性,假设,则立刻可以推断第一定律成立,入射波、反射波、折射波的波矢,与界面的法线共同包含于入射平面。

从波矢x-分量的相等式,可以得到

而在同一介质里,。所以,第二定律成立,入射角等于反射角

应用折射率的定义式:

可以推断第三定律成立:

其中,分别是折射介质的折射率与折射角。

从入射波、反射波、折射波之间的相位关系,就可以推导出几何光学的三条基础定律。[11]

全内反射与临界角

假射光线从折射率较大的介质传播进入折射率较小的介质,则入射角越大,光线的折射角也越大,直至当入射角大于临界角时,由于折射角不能大于90°,这时会出现全内反射。
假射光线从折射率较大的介质传播进入折射率较小的介质,则入射角越大,光线的折射角也越大,直至当入射角大于临界角时,由于折射角不能大于90°,这时会出现全内反射

“光密介质”是折射率比较大的介质;“光疏介质”是折射率比较小的介质。假设光从折射率为的光密介质传播进入到折射率为的光疏介质(例如,从玻璃传播进入到空气中),而入射角等于临界角,则折射光线会沿折射界面的切线进行,即折射角。此时会有。因此,可推得

假若入射角,则无法找到对应的折射角,不存在折射光,而只存在反射光,这现象称为全内反射临界角是促使全内反射发生的最小入射角,它的值取决于两种介质的折射率的比值:

例如,水的折射率为1.33,空气的折射率近似等于1.00,临界角为

弧度,即48.8°(角度)。

耗损性、吸收性、导电性介质

在导电性介质里,电容率与折射率都是复值,连带的,折射角与波向数都是复值。这意味着,等实相位曲面的法线与界面的法线之间的角度等于折射角,而等波幅曲面是与界面相互平行的平面。由于这两个曲面通常不会重叠在一起,这种波被称为“非均匀波”。[12]折射波呈指数衰减,指数与折射率的虚数部分成正比。[8][13]

各向异性物质

对于各向同性或镜面介质(例如玻璃),通常斯涅尔定律成立。对于各向异性介质,例如,方解石双折射会将折射线分为两束射线,“寻常射线”与“非常射线”。寻常射线照样遵守斯涅尔定律,而非常射线可能会与入射线不共面。

参阅

参考文献

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 Grattan-Guinness, Ivor, Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences 1 reprint, illustrated, annotated, JHU Press: pp. 262–264, 2003, ISBN 9780801873966 (英语) 
  2. ^ Ptolemy; Smith, A. Mark, Ptolemy's Theory of Visual Perception: An English Translation of the Optics, American Philosophical Society: pp. 42ff, 1996, ISBN 9780871698629 (英语) 
  3. ^ Wolf, K. B. Geometry and dynamics in refracting systems. European Journal of Physics. 1995, 16: 14–20 (英语). 
  4. ^ Rashed, Roshdi. A pioneer in anaclastics: Ibn Sahl on burning mirrors and lenses. Isis. 1990, 81 (3): 464–491. doi:10.1086/355456 (英语). 
  5. ^ Sara Cerantola, "La ley física de Ibn Sahl: estudio y traducción parcial de su Kitāb al-ḥarraqāt / The physics law of Ibn Sahl: Study and partial translation of his Kitāb al-ḥarraqāt页面存档备份,存于互联网档案馆)", Anaquel de Estudios Árabes, 15 (2004): 57-95.
  6. ^ Mihas, Pavlos. Use of History in Developing ideas of refraction, lenses and rainbow (PDF). Eighth International History, Philosophy, Sociology & Science Teaching Conference. University of Leeds, England. July 18, 2005. (原始内容 (PDF)存档于2008年2月29日) (英语). 
  7. ^ Kwan, A., Dudley, J., and Lantz, E. Who really discovered Snell's law?. Physics World. 2002, 15 (4): 64 (英语). 
  8. ^ 8.0 8.1 8.2 Hecht, Eugene, Optics 4th, United States of America: Addison Wesley: pp. 106–111, 127–129, 141, 2002, ISBN 0-8053-8566-5 (英语) 
  9. ^ Dugas, R., A History Of Mechanics, New York: Dover Publications, Inc.: pp. 255ff, 274, 345–346, 1988, ISBN 0-486-65632-2 (英语) 
  10. ^ John D Joannopoulos, Johnson SG, Winn JN & Meade RD. Photonic Crystals: Molding the Flow of Light 2nd. Princeton NJ: Princeton University Press. 2008: pp. 31. ISBN 978-0-691-12456-8 (英语). 
  11. ^ Griffiths, David J., Introduction to Electrodynamics (3rd ed.), Prentice Hall: pp. 386–389, 1998, ISBN 0-13-805326-X (英语) 
  12. ^ Born; Wolf. 13.2. Refraction and reflection at a metal surface (英语). 
  13. ^ Orfanidis, S. J. 7.9, Oblique Incidence on a Lossy Medium. Electromagnetic Waves & Antennas (PDF) (英语). 


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