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无穷递降法

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无穷递降法,又名无穷递减法,是数学中证明方程无解的一种方法。

步骤

  • 假设方程有解,并设X为最小的解。
  • 从X推出一个更小的解Y。
  • 从而与X的最小性相矛盾。所以,方程无解。

一些实用的例子

a2+b2=3(s2+t2)无非平凡解

证明下列方程无正整数解:

证明:

假设该方程有正整数解。

为最小的解。即

显然,都必须能被3整除。设

我们得到

这是更小的解,与的最小性相矛盾。所以,原方程无正整数解。

的无理性

假设有理数,即正整数解。
是此方程的最小解
易知是偶数,从得是偶数

是此方程的最小解矛盾,故无正整数解
⇒从得无理数

参见

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