曲线的挠率 - Wikiwand
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曲线的挠率

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在初等三维曲线的微分几何中,一条曲线挠率(torsion,或译挠率)度量了其扭曲的程度,即偏离平面曲线的程度。空间曲线的曲率和挠率在一起,与平面曲线的曲率类似。例如,他们都是弗勒内标架微分方程组中的系数,由弗勒内-塞雷公式给出。

定义

C 是一条用弧长参数给出的空间曲线,单位切矢量为。如果在某一点 C曲率不等于 0,那么主法矢量次法矢量分别是

其中撇号代表对参数的导数。空间曲线在一点处的切矢量和主法矢量所张成的平面就是密切平面,密切平面的法矢量是曲线的次法矢量。如果曲线本身位于一个平面内,那么这个平面就是曲线的密切平面,相应的次法矢量就是常矢量。如果曲线不是平面曲线,则不是常矢量。因为是单位矢量,所以垂直于。又因为,所以,故也垂直于。所以共线。

挠率度量了次法矢量在那一点旋转的速度。由方程

得出

注:次法矢量的导数垂直于次法矢量和切矢量,从而和主法矢量成比例。式中的负号仅仅是出于习惯,是这个学科历史发展的副产品。

挠率半径,通常记为 σ,定义为:

几何解释:挠率度量了次法矢量的方向的改变。挠率越大,次法矢量关于切矢量所在的轴的转动越快。

性质

  • 平面曲线的挠率处处为 0;反过来,如果一条正则曲线的挠率处处为 0,那么这条曲线在一个平面上。
  • 螺旋线的曲率和挠率都是常数;反之,任何空间曲线如果其曲率和挠率都是非零常数,必然是螺旋线。挠率为正是右手螺旋,为负是左手螺旋。
  • 定倾曲线或称一般螺线(即切矢量与一个固定方向交为定角的曲线)的挠率与曲率之比为常数;反之,如果正则曲线的挠率与曲率之比为常数,那么曲线必是定倾曲线。

另一种描述

r = r(t) 是空间曲线的参数方程。假设参数是正则的且曲线的曲率处处非 0。精确地说就是,r(t)关于t三次可微,且矢量线性无关

那么挠率可以由下面的公式表达出来:

这里撇号表示对 t 求导数,× 号为矢量的叉积。对 r = (x, y, z),上述公式的分量形式为

例子:圆螺旋线的曲率、挠率都是常数,分别为

参考文献

Andrew Pressley, Elementary Differential Geometry, Springer Undergraduate Mathematics Series, Springer-Verlag,2001 ISBN 1-85233-152-6

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