勒洛三角形

勒洛三角形（英语：Reuleaux triangle），也译作莱洛三角形或弧三角形，又被称为划粉形^[1]或曲边三角形，是除了圆形以外，最简单易懂的勒洛多边形，一个定宽曲线。将一个曲线图放在两条平行线中间，使之与这两平行线相切，则可以做到：无论这个曲线图如何运动，只要它还是在这两条平行线内，就始终与这两条平行线相切。这个定义由十九世纪的德国工程师弗兰茨·勒洛（英语：Franz Reuleaux）命名。

勒洛三角形是一个固定宽度的曲线图，以一个等边三角形为基础。边上的每个点到对应顶点的距离都是相等的。

绘制

如何绘制一个勒洛三角形

在正方形中滚动的勒洛三角形

使用一个圆规，画一个大小合适的圆弧。

以同样的半径，以第一个圆弧上的一点画第二个圆弧。

以2个圆的一个交点为圆心，半径不变，做第三个圆弧。

通过勒贝格积分可以算出，勒洛三角是定宽曲线所能构成的面积最小的图形，其面积为${\displaystyle {1 \over 2}(\pi -{\sqrt {3}})s^{2}}$，s为定宽宽度。

勒洛三角也是“除了圆形以外，还有什么形状的下水道盖不会掉入下水道？”这个问题的一个答案^[2]。

其他形状

三维空间

四个相交的球体，其中心为一个勒洛四面体

参见

• 三尖瓣线
• 超椭圆
• 椭圆形光轮（英语：Vesica piscis）
• 汪克尔引擎（Wankel engine）

备注

1. Theoni Pappas, 陈以鸿译. 《數學放輕鬆》. 台北县新店市: 世茂出版社. 2004: P.280. ISBN 9577766110. 引文格式1维护：冗余文本 (link)
2. Klee, Victor, Shapes of the future, The Two-Year College Mathematics Journal, 1971, 2 (2): 14–27, doi:10.2307/3026963.

• Heinrich Guggenheimer (1977) Applicable Geometry, page 58, Krieger, Huntington ISBN 0-88275-368-1 .

相关资料

• How Round is Your Circle? - book about various geometric properties, including curves and solids of constant width
• Shapes of constant width（页面存档备份，存于互联网档案馆） at cut-the-knot
• Russian-language site with downloadable films about the Reuleaux triangle, also showing the Wankel engine and the mechanics of a famous Soviet film projector^{[永久失效链接]}