有理函数 - Wikiwand
For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for 有理函数.

有理函数

维基百科,自由的百科全书

此条目部分链接不符合格式手册规范。跨语言链接及章节标题等处的链接可能需要清理。 (2015年12月12日)请协助改善此条目。参见WP:LINKSTYLE、WP:MOSIW以了解细节。突出显示跨语言链接可以便于检查。

有理函数是可以表示为以下形式的函数

不全为0。

有理数式是多项式除法的商,有时称为代数分数

渐近线

  • 不失一般性可假设分子、分母互质。若存在,使得是分母的因子,则有理函数存在垂直渐近线
  • ,有水平渐近线
  • ,有水平渐近线
  • ,有斜渐近线

只有一条水平渐近线

泰勒级数

有理函数的泰勒级数的系数满足一个线性递归关系。反之,若一个泰勒级数的系数满足一个线性递归关系,它对应的函数是有理函数。

部分分式

部分分式,又称部分分数分项分式,是将有理数式分拆成数个有理数式的技巧。

有理数式可分为真分式、假分式和带分式,这和一般分数中的真分数、假分数和带分数的概念相近。真分式分子的次数少于分母的。

若有理数式的分母可分解为数个多项式的积,其部分分数便是,其中的因子,是次数不大于Q(x)/h_n(x)的多项式。

例子

  1. 分拆

分子的次数是3,分母的是2,所以先将它转成真分式和多项式的和(即带分式):

因为,所以

其中A和B是常数。两边乘以,得

比较系数,得

解得

故:

也可以把x的特殊值代入等式来解出A和B。例如,当x=4时,我们有

当x=-7时,我们有

应用

积分

部分分数

在计算有理数式的积分时,部分分数的方法很有用,因为分母的1和2次多项式的有理数式的积分都有固定的方法计算。

  • 分母为1次多项式:求

原式变为

  • 分母次数为2:求

若多项式可分解为两个一次多项式的积(即),则可用部分分数的方法解决。若多项式不可分解,则将它配方,再用各种替代法解决。

例如:

因为

考虑

将分子分解,以便应用上面的替换:

左边:

另一边:

代入

另一种可行的代入方法是:

奥斯特洛格拉德斯基方法

奥斯特洛格拉德斯基方法(Ostrogradsky Algorithm / Ostrogradsky's Method)是这样的:

设求积的有理函数为 ,其中是多项式,的次数少于)。设为Q的导数Q'和Q的最大公因数,。则有:

其中为多项式,

应用例子

两边取导数:

通分母,右边的分子为:

比较分子的多项式的系数,得。于是有

后者可用部分分数的方法求得。

证明

两边乘以

由于 ,而都是的倍数,所以是多项式。

比较两边多项式的次数:

因此有解。

Hermite方法

应用

参考

{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
有理函数
Listen to this article