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有理数

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各种各样的
基本

正数
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正整数
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循环小数
有理数
代数数
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高斯整数

负数
整数
负整数
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单位分数
二进分数
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无理数
超越数
虚数
二次无理数
艾森斯坦整数

延伸

二元数
四元数
八元数
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超实数
大实数
上超实数

双曲复数
双复数
复四元数
共四元数英语Dual quaternion
超复数
超数
超现实数

其他

质数
可计算数
基数
阿列夫数
同余
整数数列
公称值

规矩数
可定义数
序数
超限数
p进数
数学常数

圆周率
自然对数的底
虚数单位
无穷大

实数(ℝ)包括有理数(ℚ),其中包括整数(ℤ),其中包括自然数(ℕ)
实数(ℝ)包括有理数(ℚ),其中包括整数(ℤ),其中包括自然数(ℕ)

数学上,可以表达为两个整数比的数(, )被定义为有理数,例如,0.75(可被表达为)。整数和分数统称为有理数。与有理数对应的是无理数,如无法用整数比表示。
有理数与分数形式的区别,分数形式是一种表示比值的记法,如 分数形式无理数
所有有理数的集合表示为Q,Q+,或。定义如下:

有理数的小数部分有限或为循环。不是有理数的实数遂称为无理数

词源

有理数在希腊文中称为λογος,原意是“成比例的数”。英文取其意,以ratio为字根,在字尾加上-nal构成形容词,全名为rational number,直译成汉语即是“可比数”。对应地,无理数则为“不可比数”。

但并非中文翻译不恰当。有理数这一概念最早源自西方《几何原本》,在中国明代,从西方传入中国,而从中国传入日本时,出现了错误。[来源请求]

明末数学家徐光启和学者利玛窦翻译《几何原本》前6卷时的底本是拉丁文。他们将这个词(“λογος”)译为“理”,这个“理”指的是“比值”[来源请求]。日本在明治维新以前,欧美数学典籍的译本多半采用中国文言文的译本。日本学者将中国文言文中的“理”直接翻译成了理,而不是文言文所解释的“比值”。后来,日本学者直接用错误的理解翻译出了“有理数”和“无理数”。(文言文中理字没有比值的意思)

当有理数从日本传回中国时又延续错误。末中国派留学生到日本,将此名词传回中国,以至现在中日两国都用“有理数”和“无理数”的说法。

运算

有理数集对加、减、乘、除四则运算是封闭的。有理数的加法乘法如下:

两个有理数相等当且仅当

有理数中存在加法和乘法的逆:

时,

古埃及分数

古埃及分数是分子为1、分母为正整数的有理数。每个有理数都可以表达为有限个两两不等的古埃及分数的和。例如:

对于给定的正有理数,存在无穷多种表达成有限个两两不等的古埃及分数之和的方法。

形式构建

数学上可以将有理数定义为建立在整数有序对等价类,这里不为零。我们可以对这些有序对定义加法和乘法,规则如下:

为了使,定义等价关系如下:

这种等价关系与上述定义的加法和乘法上是一致的,而且可以将Q定义为整数有序对关于等价关系~的商集。例如:两个对是相同的,如果它们满足上述等式。(这种构建可用于任何整数环,参见商域。)

Q上的全序关系可以定义为:

当且仅当
  1. 并且
  2. 并且

性质

有理数集是可数的
有理数集是可数的

集合,以及上述的加法和乘法运算,构成,即整数商域

有理数是特征为0的域最小的一个:所有其他特征为0的域都包含的一个拷贝(即存在一个从到其中的同构映射)。

代数闭包,例如有理数多项式的根的域,是代数数域

所有有理数的集合是可数的,亦即是说基数(或)与自然数集合相同,都是阿列夫数。因为所有实数的集合是不可数的,从勒贝格测度来看,可以认为绝大多数实数不是有理数。

有理数是个稠密的集合:任何两个有理数之间存在另一个有理数,事实上是存在无穷多个。

实数

有理数是实数的紧密子集:每个实数都有任意接近的有理数。一个相关的性质是,仅有理数可化为有限连分数

依照它们的序列,有理数具有一个序拓扑。有理数是实数的(稠密子集,因此它同时具有一个子空间拓扑。采用度量,有理数构成一个度量空间,这是上的第三个拓扑。幸运的是,所有三个拓扑一致并将有理数转化到一个拓扑域。有理数是非局部紧致空间的一个重要的实例。这个空间也是完全不连通的。有理数不构成完备的度量空间实数的完备集。

p进数

除了上述的绝对值度量,还有其他的度量将转化到拓扑域:

素数,对任何非零整数,这里整除的最高次幂;

另外。对任何有理数,设

上定义了一个度量

度量空间不完备,它的完备集是p进数

参见

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