朗伯W函数為x乘上e的x次方的反函數 / 维基百科,自由的 encyclopedia 朗伯W函数(英语:Lambert W function,又称为欧米加函数或乘积对数),是 f ( w ) = w e w {\displaystyle f(w)=we^{w}} 的反函数,其中 e w {\displaystyle e^{w}} 是指数函数, w {\displaystyle w} 是任意复数。对于任何复数 z {\displaystyle z} ,都有: z = W ( z ) e W ( z ) . {\displaystyle z=W(z)e^{W(z)}.} W 0 ( x ) {\displaystyle W_{0}(x)} 的图像, − 1 e ≤ x ≤ 4 {\displaystyle -{\frac {1}{e}}\leq x\leq 4} 由于函数 f {\displaystyle f} 不是单射,因此函数 W {\displaystyle W} 是多值的(除了0以外)。如果我们把 x {\displaystyle x} 限制为实数,并要求 w {\displaystyle w} 是实数,那么函数仅对于 x ≥ 1 e {\displaystyle x\geq {\frac {1}{e}}} 有定义,在 ( − 1 e , 0 ) {\displaystyle (-{\frac {1}{e}},0)} 内是多值的;如果加上 w ≥ − 1 {\displaystyle w\geq -1} 的限制,则定义了一个单值函数 W 0 ( x ) {\displaystyle W_{0}(x)} (见图)。我们有 W 0 ( 0 ) = 0 {\displaystyle W_{0}(0)=0} , W 0 ( − 1 e ) = − 1 {\displaystyle W_{0}(-{\frac {1}{e}})=-1} 。而在 [ − 1 e , 0 ) {\displaystyle [-{\frac {1}{e}},0)} 内的 w ≤ − 1 {\displaystyle w\leq -1} 分支,则记为 W − 1 ( x ) {\displaystyle W_{-1}(x)} ,从 W − 1 ( − 1 e ) = − 1 {\displaystyle W_{-1}(-{\frac {1}{e}})=-1} 递减为 W − 1 ( 0 − ) = − ∞ {\displaystyle W_{-1}(0^{-})=-\infty } 。 朗伯 W {\displaystyle W} 函数不能用初等函数来表示。它在组合数学中有许多用途,例如树的计算。它可以用来解许多含有指数的方程,也出现在某些微分方程的解中,例如 y ( t ) = a y ( t − 1 ) {\displaystyle y(t)=ay(t-1)} 。 复平面上的朗伯W函数的函数图形
朗伯W函数(英语:Lambert W function,又称为欧米加函数或乘积对数),是 f ( w ) = w e w {\displaystyle f(w)=we^{w}} 的反函数,其中 e w {\displaystyle e^{w}} 是指数函数, w {\displaystyle w} 是任意复数。对于任何复数 z {\displaystyle z} ,都有: z = W ( z ) e W ( z ) . {\displaystyle z=W(z)e^{W(z)}.} W 0 ( x ) {\displaystyle W_{0}(x)} 的图像, − 1 e ≤ x ≤ 4 {\displaystyle -{\frac {1}{e}}\leq x\leq 4} 由于函数 f {\displaystyle f} 不是单射,因此函数 W {\displaystyle W} 是多值的(除了0以外)。如果我们把 x {\displaystyle x} 限制为实数,并要求 w {\displaystyle w} 是实数,那么函数仅对于 x ≥ 1 e {\displaystyle x\geq {\frac {1}{e}}} 有定义,在 ( − 1 e , 0 ) {\displaystyle (-{\frac {1}{e}},0)} 内是多值的;如果加上 w ≥ − 1 {\displaystyle w\geq -1} 的限制,则定义了一个单值函数 W 0 ( x ) {\displaystyle W_{0}(x)} (见图)。我们有 W 0 ( 0 ) = 0 {\displaystyle W_{0}(0)=0} , W 0 ( − 1 e ) = − 1 {\displaystyle W_{0}(-{\frac {1}{e}})=-1} 。而在 [ − 1 e , 0 ) {\displaystyle [-{\frac {1}{e}},0)} 内的 w ≤ − 1 {\displaystyle w\leq -1} 分支,则记为 W − 1 ( x ) {\displaystyle W_{-1}(x)} ,从 W − 1 ( − 1 e ) = − 1 {\displaystyle W_{-1}(-{\frac {1}{e}})=-1} 递减为 W − 1 ( 0 − ) = − ∞ {\displaystyle W_{-1}(0^{-})=-\infty } 。 朗伯 W {\displaystyle W} 函数不能用初等函数来表示。它在组合数学中有许多用途,例如树的计算。它可以用来解许多含有指数的方程,也出现在某些微分方程的解中,例如 y ( t ) = a y ( t − 1 ) {\displaystyle y(t)=ay(t-1)} 。 复平面上的朗伯W函数的函数图形