特征值和特征向量
矩陣的性質 / 维基百科,自由的 encyclopedia
在数学上,特别是线性代数中,对于一个给定的方阵,它的特征向量(eigenvector,也译固有向量、本征向量) 经过这个线性变换[a]之后,得到的新向量仍然与原来的 保持在同一条直线上,但其长度或方向也许会改变。即, 为标量,即特征向量的长度在该线性变换下缩放的比例,称 为其特征值(eigenvalue,也译固有值、本征值)。如果特征值为正,则表示 在经过线性变换的作用后方向也不变;如果特征值为负,说明方向会反转;如果特征值为0,则是表示缩回零点。但无论怎样,仍在同一条直线上。图1给出了一个以油画《蒙娜丽莎》为题材的例子。在一定条件下(如其矩阵形式为实对称矩阵的线性变换),一个变换可以由其特征值和特征向量完全表述,也就是说:所有的特征向量组成了这向量空间的一组基底。一个特征空间(eigenspace)是具有相同特征值的特征向量与一个同维数的零向量的集合,可以证明该集合是一个线性子空间,比如 即为线性变换 中以 为特征值的特征空间。
线性代数 | ||||||
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这些概念在纯数学和应用数学的众多领域中都有重要的应用。在线性代数和泛函分析之外,甚至在一些非线性的情况下,这些概念都是十分重要的。
“特征”一词译自德语的eigen,由希尔伯特在1904年首先在这个意义下使用(赫尔曼·冯·亥姆霍兹在更早的时候也在类似意义下使用过这一概念)。eigen一词可翻译为“自身的”,“特定于...的”,“有特征的”或者“个体的”—这强调了特征值对于定义特定的变换上是很重要的。