李善兰恒等式

李善兰恒等式为组合数学中的一个恒等式，由中国清代数学家李善兰于1859年在《垛积比类》一书中首次提出，因此得名。

有幂级数^[1]和概率^[2]两种证明方法。

表达式

${\displaystyle {\binom {n+k}{k}}^{2}=\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}^{2}{\binom {n+2k-j}{2k}}}$

其中${\displaystyle {\binom {k}{l}}={\frac {k!}{l!(k-l)!}}}$

与超几何函数的关系

李善兰恒等式是萨尔舒茨定理（英语：Generalized hypergeometric function#Saalschütz's theorem）的一个整数特例。

${\displaystyle {}_{3}F_{2}(a,b,-n;c,1+a+b-c-n;1)={\frac {(c-a)_{n}(c-b)_{n}}{(c)_{n}(c-a-b)_{n}}}.}$^{[3] [4]}

${\displaystyle \sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}^{2}{\binom {n+2k-j}{2k}}={\frac {(n+2k)!}{(2k)!n!}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-k)^{(j)}(-k)^{(j)}(-n)^{(j)}}{(1)^{(j)}(-n-2k)^{(j)}j!}}={\frac {(n+2k)!}{(2k)!n!}}{}_{3}F_{2}(-k,-k,-n;1,-n-2k;1)}$

${\displaystyle ={\frac {(n+2k)!(1+k)_{n}(1+k)_{n}}{(2k)!n!(1)_{n}(1+2k)_{n}}}={\frac {(n+2k)!(n+k)!(n+k)!(2k)!}{(2k)!n!k!k!n!(n+2k)!}}={\binom {n+k}{k}}^{2}}$

参见

• 组合数学
• 李善兰

参考资料

1. 形式幂级数技巧的应用. [2013-12-10]. （原始内容存档于2019-06-09）.
2. 李善兰恒等式的概率证明. [2013-12-10]. （原始内容存档于2019-06-03）.
3. Yong Sup Kim and Arjun Kumar Rathie. A NEW PROOF OF SAALSCHUTZ’S THEOREM FOR THE ¨SERIES 3F2(1) AND ITS CONTIGUOUS RESULTS WITH APPLICATIONS (PDF). Commun. Korean Math. Soc. 27. 2012 [2018-06-12]. （原始内容 (PDF)存档于2018-06-12）.
4. Bruce Sagan,Richard Stanley. Mathematical Essays in honor of Gian-Carlo Rota.