李群 - Wikiwand
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李群

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李群 典型群 一般线性群 GL(n) 特殊线性群 SL(n) 正交群 O(n) 特殊正交群 SO(n) 酉群 U(n) 特殊酉群 SU(n) 辛群 Sp(n) 单李群 单李群列表(英语:List of simple Lie groups) 无限单李群:An, Bn, Cn, Dn, 特殊单李群 G2(英语:G2 (mathematics)) F4 E6 E7 E8(英语:E8 (mathematics)) 其他李群 圆群 循环群 劳仑兹群 庞加莱群 共形群(英语:Conformal group) 微分同胚群 圈群(英语:Loop group) 李代数 指数映射 李群的伴随表示 基灵型 李点对称 半单李群代数 丹金图(英语:Dynkin diagram) 嘉当子代数 根系 实形式(群论)(英语:Real form (Lie theory)) 复化 分裂李代数 紧李代数 群表示论 李群表示 李代数表示(英语:Lie algebra representation) 物理中的李群 粒子物理学与群表示论(英语:Particle physics and representation theory) 洛仑兹群的群表示论(英语:Representation theory of the Lorentz group) 庞加莱群的群表示论(英语:Representation theory of the Poincaré group) 伽利略群的群表示论(英语:Representation theory of the Galilean group) 科学家 索菲斯·李  · 庞加莱  · 威廉·基灵  · 埃利·嘉当  · 赫尔曼·外尔 查论编
群论 群 基本概念 子群 · 正规子群 · 商群 群同态 像 · (半)直积 · 直和单群 · 有限群 · 无限群拓扑群 · 群概形 · 循环群幂零群 · 可解群 离散群 有限单群分类 循环群 Zn 交错群 An 散在群马蒂厄群 M11..12,M22..24康威群 Co1..3 扬科群 J1..4 费歇尔群 F22..24子怪兽群 B怪兽群 M 其他有限群 对称群, Sn 二面体群, Dn 无限群 整数, Z 模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z) 连续群 李群一般线性群 GL(n)特殊线性群 SL(n)正交群 O(n)特殊正交群 SO(n)酉群 U(n)特殊酉群 SU(n)辛群 Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 劳仑兹群庞加莱群 无限维群 共形群微分同胚群 环路群 量子群 O(∞) SU(∞) Sp(∞) 代数群 椭圆曲线线性代数群(英语:Linear algebraic group)阿贝尔簇(英语:Abelian variety) 查论编

数学中,李群(英语:Lie group/ˈl/)是具有群结构的光滑微分流形,其群作用微分结构相容。李群的名字源于挪威数学家索菲斯·李的姓氏,以其为连续变换群奠定基础。1893年,法文名词groupes de Lie首次出现在李的学生Arthur Tresse的论文第三页中。[1]

粗略地说,李群是连续的群,也即其元素可由几个实参数描述。因此,李群为连续对称性的概念提供了一个自然的模型,例如三维旋转对称性。李群被广泛应用于现代数学和物理学。索菲斯·李引入李群的最初动机是为微分方程的连续对称性建模,就像有限群被用于伽罗瓦理论代数方程的离散对称性建模一样。

总览

绝对值为1的复数集(对应于复平面上圆心在原点、半径为1的单位圆)是一个在复数乘法下的李群,称为圆群。
绝对值为1的复数集(对应于复平面上圆心在原点、半径为1的单位圆)是一个在复数乘法下的李群,称为圆群

李群是光滑可微流形,因而可以用微分学来研究,这点与更一般的拓扑群不同。李群理论中的关键是替换掉“全局”的对象,也即群本身,而代之以其“局部”或线性化的版本。这个局部版本被索菲斯·李本人称为该李群的“无穷小群”,而后来以“李代数”为人熟知。

李群在现代几何学中在多个层面扮演了重要的角色。费利克斯·克莱因在他的爱尔兰根纲领中认为,可以通过选定适当的保持某种几何性质不变的变换群来考察各种“几何”。例如,欧氏几何对应于欧式空间R3中保距变换构成的欧几里得群E(3);共形几何对应于把群扩大到共形群;而在射影几何中引起人们兴趣的是射影群的不变属性。这个观念后来发展为G-结构的概念,其中G是流形"局部"对称性形成的李群。

李群(以及与之关联的李代数)在现代物理学中起到了重要作用,并通常扮演了物理系统中的对称性。这里,李群表示或相应的李代数表示尤为重要。 表示理论在粒子物理中被频繁使用。一些具有较为重要的表示的群包括旋转群SO(3)(或其双覆盖特殊酉群SU(2)),特殊酉群SU(3)以及庞加莱群

定义与样例

  • 为有限维实解析流形
  • 两个解析映射,二元运算,和逆映射满足群公理,从而具有群结构。

实李群是一个满足下列条件的:它也是一个有限维实光滑流形,其中群的乘法和求逆操作是光滑映射。 群乘法的光滑性

意味着是一个从积流形的光滑映射。这两个条件可以合并成一条,即映射

是一个从积流形的光滑映射。

初步的样例

这是一个非紧致的四维实李群;它是的一个开子集。这个群是非连通的;它有两个连通分量,对应于行列式的正负两种情况。
  • 旋转矩阵构成了的一个子群,记为。它自己本身也是一个李群:具体地说,它是一个与微分同胚的一维紧致连通李群。使用旋转角 作为参数,这个群可以被参数化为如下形式:
其中,角度的加法对应于中元素的乘法,角度的相反数对应于逆元。因此,乘法和求逆操作也都是可微映射。
  • 一维仿射群是一类二维上三角阵组成的李群,其中第一个对角线上的元素为正,第二个对角线上的元素为1。因此,该群包含了如下形式的矩阵:

反例

现在我们给出一个群的例子,它拥有不可数的元素,并且在某种拓扑下不是李群。我们给定如下群:

其中是一个固定的无理数。这是一个环面 的子群,它在子空间拓扑下不是李群。[2] 比如说,如果我们取中的一个点的任意小邻域,那么中的部分是不连通的。群在环面上反复缠绕,形成了一个稠密子群。

另一方面,我们可以给群指定另一个拓扑,使得两点之间的距离被定义为群H中连结 的最短路径长度。在这个拓扑下,通过其元素中对应的与实直线同胚。在这种拓扑下,仅仅是加法意义下的实数群,因此也是李群。

是李群的一个非闭"李子群"的样例。可参见下面基本概念部分关于李子群的讨论。

矩阵李群

GL(n; C)表示复数域上的n × n可逆矩阵。GL(n, C)的任何闭子群也是一个李群[3];这类李群被称为矩阵李群。 由于李群中大多数有趣的例子都可以用矩阵李群实现,一些教科书把注意力限制在这类李群上,包括Hall[4]以及 Rossmann[5]等,这样可以简化李代数和指数映射的定义。下面是一些矩阵李群的标准样例:

  • 定义在RC上的特殊线性群SL(n, R)SL(n, C),分别包括了元素属于RC的、行列式为1的n × n矩阵。
  • 酉群U(n)(以及特殊酉群SU(n)), 包含了满足(对于特殊酉群而言,还需满足)的n × n复矩阵。
  • 正交群O(n)(以及特殊正交群SO(n)),包含了满足 (对于特殊正交群而言,还需满足)的n × n实矩阵。

以上列举的群均为经典群

相关概念

与实李群相对应,复李群是在复流形上定义的(例如SL(2, C))。类似地,使用一种Q度量完备化我们可以在 p-进数上定义p-进数李群,一种满足每个点都有一个p-进数邻域的拓扑群。

更多李群的样例

李群经常出现在数学和物理学中。矩阵群代数群(大部分情况下)是由矩阵构成的群(例如正交群辛群),而这些也是李群最常见的例子。

一维李群

一维情况下唯二的连通李群是实直线 (其群操作为加法)和由绝对值为1的复数组成的圆群 (其群操作为乘法)。 也常被记作,即酉群

二维李群

在二维情况下,如果我们只考虑简单连通群,那么可以通过它们的李代数来分类。若把同构的情况归为一类,那么此时只存在两种李代数。与这两种李代数关联的简单连通李群分别是(其群操作为向量加法)以及一维仿射群(在前面的小节"初步的样例"中有介绍)。

解析李群与光滑李群

部分书籍在定义李群时假设了解析性,本条目采相同定义。另一种进路则是定义李群为实光滑(简记为)流形,并具有光滑的群二元运算与逆元运算。解析条件看似较强,实则两者等价:

定理.任意李群上具有唯一的实解析流形结构,使得群二元运算及逆元运算皆为解析映射。此时指数映射亦为解析映射。

同态和同构

均为李群,二者之间的一个同态:群同态并且是解析映射(事实上,可以证明这里解析的条件只需满足连续即可)。显然,两个同态的复合是同态。所有李群的加上同态构成一个范畴。 两个李群之间存在一个双射,这个双射及其逆射均为同态,就称之为同构

李代数

李代数刻划了李群在单位元附近的局部性状;借助指数映射或源自李代数的叶状结构,可以将李代数的性质提升到李群的层次。

为李群,其李代数定义为在单位元的切空间自然具备了矢量空间结构,上的李括积定义如下:

  1. 定义对自身的伴随作用为
  2. 取Ad对变元在单位元上的微分,得到李代数上的伴随作用,通常记为
  3. 再对变元微分,得到映射。定义李括积为

不难验证满足李代数的抽象定义。李括积蕴含了群乘法的无穷小性质,例如:连通李群是交换群当且仅当是交换李代数。

李括积也可以用左不变矢量场及泊松括号定义,或者取定局部坐标,用群乘法映射在原点的泰勒级数定义。

李群对应李代数

是李群,是其子群,并带有李群结构,使得包含映射为浸入(不一定是闭的),则可得到子李代数。反之,任意子李代数透过左平移定义了上的叶状结构,取含单位元的极大积分流形,便得到满足前述条件的子群。此子群未必是闭子群,它可能是的稠密子集(考虑环面的例子)。

李代数的映射未必能提升至李群的映射,但可提升至映射,其中的万有覆叠空间

指数映射

对于任意矢量,根据常微分方程的基本理论,存在中的单参数子群使得。由此得到的映射

称为指数映射。它总是解析映射。

的子群,则,这是指数映射一词的缘由。

连通且非交换时,指数映射并非同态;局部上,可以由Campbell-Baker-Hausdorff公式表成涉及括积的无穷级数。

一般域上的李群

在任意乃至于概形上,都可以定义群概形;这是概形范畴中的群对象。群概形具有深刻的几何与数论意义,然而李群未必是代数簇

另一方面,若域对某个绝对值是完备域,其特征为零,则可照搬解析李群的定义以定义域上的李群、李代数与指数映射。较常见的例子是;至于数论方面,特别涉及自守表示的研究上,则须用到p进数域的情形。

参考文献

引用

  1. ^ Arthur Tresse. Sur les invariants différentiels des groupes continus de transformations. Acta Mathematica. 1893, 18: 1–88. doi:10.1007/bf02418270. 
  2. ^ Rossmann 2001,Chapter 2.
  3. ^ Hall 2015 Corollary 3.45
  4. ^ Hall 2015
  5. ^ Rossmann 2001

来源

  • D. Montgomery and L. Zippin, Topological Transformation Groups (1955), Interscience.
  • Anthony W. Knapp, Lie Groups Beyond an Introduction (2004), Birkhäuser. ISBN 0817642595 .
  • Jean-Pierre Serre, Lie algebras and Lie groups (2005), Lecture Notes in Mathematics 1500, Springer-Verlag. ISBN 3540550089 .
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