条件收敛

条件收敛是数学中无穷级数和广义积分的一种性质。收敛但不绝对收敛的无穷级数或广义积分称为条件收敛的。一个积分条件收敛的函数也称为条件可积函数。

详细定义

条件收敛的级数

给定一个实数项无穷级数${\displaystyle A=\sum _{n}a_{n}}$，如果它自身收敛于一个定值${\displaystyle C\in \mathbb {R} }$：

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=C,}$

但由每一项的绝对值构成的正项级数：${\displaystyle A_{s}=\sum _{n}|a_{n}|}$不收敛：

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|=\infty ,}$

那么就称这个无穷级数${\displaystyle A=\sum _{n}a_{n}}$是一个条件收敛的无穷级数。^[1]:149

条件收敛的广义积分

给定一个在区间${\displaystyle [a,\infty )}$上有定义的函数${\displaystyle f(x)}$，如果${\displaystyle f(x)}$在任意的闭区间${\displaystyle [a,b]}$上都可积，并且广义积分：

${\displaystyle \int _{a}^{+\infty }f(x)\mathrm {d} x=\lim _{b\to +\infty }\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x}$

收敛，而函数绝对值的广义积分：

${\displaystyle \int _{a}^{+\infty }|f(x)|\mathrm {d} x=\lim _{b\to +\infty }\int _{a}^{b}|f(x)|\mathrm {d} x}$

发散，那么就称广义积分${\displaystyle \int _{a}^{+\infty }f(x)\mathrm {d} x}$条件收敛。^[2]:104

例子

无穷级数

常见的条件收敛的无穷级数包括交错调和级数：

${\displaystyle A_{h}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots =\sum _{n}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}}$

它收敛到定值：${\displaystyle \ln 2}$，而对应的由每项的绝对值构成的正项函数：${\displaystyle H=\sum _{n}{\bigg |}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}{\bigg |}=\sum _{n}{\frac {1}{n}}}$叫做调和级数，是发散的。

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\infty .}$

广义积分

条件收敛的广义积分的一个例子是函数：${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}}$在正实数轴上的积分：

${\displaystyle I=\int _{1}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x}$

任取实数${\displaystyle a>1}$，运用分部积分法可以得到：

${\displaystyle \int _{1}^{a}{\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x=\cos 1-{\frac {\cos a}{a}}-\int _{1}^{a}{\frac {\cos x}{x^{2}}}\mathrm {d} x}$

而对任意的正实数${\displaystyle A,B>1}$：

${\displaystyle {\Bigg |}\int _{A}^{B}{\frac {\cos x}{x^{2}}}\mathrm {d} x{\Bigg |}\leqslant \int _{A}^{B}{\frac {|\cos x|}{x^{2}}}\mathrm {d} x\leqslant \int _{A}^{B}{\frac {1}{x^{2}}}\mathrm {d} x\leqslant {\frac {1}{A}}}$

由柯西收敛原理可知广义积分${\displaystyle \int _{1}^{+\infty }{\frac {\cos x}{x^{2}}}\mathrm {d} x}$收敛，所以

${\displaystyle \int _{1}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x=\lim _{a\to +\infty }\int _{1}^{a}{\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x=\cos 1-\lim _{a\to +\infty }{\frac {\cos a}{a}}-\lim _{a\to +\infty }\int _{1}^{a}{\frac {\cos x}{x^{2}}}\mathrm {d} x=\cos 1-\int _{1}^{+\infty }{\frac {\cos x}{x^{2}}}\mathrm {d} x}$

即积分：${\displaystyle I=\int _{1}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x}$收敛。但是，绝对值函数的积分：${\displaystyle I_{s}=\int _{1}^{+\infty }{\bigg |}{\frac {\sin x}{x}}{\bigg |}\mathrm {d} x}$不收敛。这是因为对任意自然数${\displaystyle k}$，积分：

${\displaystyle I_{k}=\int _{k\pi }^{(k+1)\pi }{\bigg |}{\frac {\sin x}{x}}{\bigg |}\mathrm {d} x\geqslant \int _{k\pi }^{(k+1)\pi }{\frac {|\sin x|}{(k+1)\pi }}\mathrm {d} x={\frac {2}{(k+1)\pi }}={\frac {2}{\pi }}\cdot {\frac {1}{k+1}}}$

所以

${\displaystyle I_{s}=\int _{1}^{+\infty }{\bigg |}{\frac {\sin x}{x}}{\bigg |}\mathrm {d} x\geqslant \sum _{k=1}^{+\infty }I_{k}\geqslant {\frac {2}{\pi }}\cdot \sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {1}{k+1}}=+\infty }$

因此，积分${\displaystyle I=\int _{1}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x}$是条件收敛的。^[2]:104-106

相关定理

• 黎曼级数定理：假设${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$是一个条件收敛的无穷级数。对任意的一个实数${\displaystyle C}$，都存在一种从自然数集合到自然数集合的排列${\displaystyle \sigma :\,\,n\mapsto \sigma (n)}$，使得

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma (n)}=C.}$

此外，也存在另一种排列${\displaystyle \sigma ':\,\,n\mapsto \sigma '(n)}$，使得

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma '(n)}=\infty .}$

类似地，也可以有办法使它的部分和趋于${\displaystyle -\infty }$，或没有任何极限。^[3]:192

反之，如果级数是绝对收敛的，那么无论怎样重排，它仍然会收敛到同一个值，也就是级数的和。^[3]:193

参见

• 无条件收敛
• 绝对收敛

参考来源

1. J. A. Fridy. Introductory analysis: the theory of calculus. Gulf Professional Publishing. 2000. ISBN 9780122676550.
2. 清华大学数学科学系. 《微积分》. 北京: 清华大学出版社有限公司. 2003. ISBN 9787302069171.
3. S. Ponnusamy. Foundations of mathematical analysis. Springer. 2012. ISBN 9780817682927.