个定义是不同的。使ab位于P内意味着a或b位于P内的理想称为完全素理想。完全素理想是素理想,但反过来不成立。例如,n × n矩阵环中的零理想是素理想,但不是完全素理想。 任何极大理想都是素理想。 任何本原理想都是素理想。 任何素环的零理想都是素理想。 David S. Dummit and Richard
數學上,布尔素理想定理(英語:Boolean prime ideal theorem)声称每個布尔代数中的任何理想,都可以扩展成素理想。这个陈述对于在集合上的滤子的变体叫做超滤子引理。不同数学结构上,理想的定義有所不同,例如環有(环论)素理想,分配格有(序理论)极大理想。對於有定義「理想」的數學結構,有時有類似的素理想定理(prime
k[X]。任何环有两个理想,零理想 { 0 } 与整个环 R。不包含于任何真理想(即 ≠R)的理想称为极大的。一个理想 m 是极大的当且仅当 R / m 是一个域。任何环至少有一个极大理想,这可由与选择公理等价的佐恩引理得出。 理想的定义使得“除以” I 中的元素给出另一个环,商环 R / I:它是 I