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柯西-施瓦茨不等式

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数学上,柯西-施瓦茨不等式,又称施瓦茨不等式柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式,是一条很多场合都用得上的不等式;例如线性代数矢量数学分析无穷级数和乘积的积分,和概率论方差协方差。它被认为是最重要的数学不等式之一。它有一些推广,如赫尔德不等式

不等式以奥古斯丁·路易·柯西(Augustin Louis Cauchy),赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨(Hermann Amandus Schwarz),和维克托·雅科夫列维奇·布尼亚科夫斯基英语Viktor_Bunyakovsky(Виктор Яковлевич Буняковский)命名。

叙述

对于一个内积空间中的向量xy,有

其中表示内积,也叫点积。等价地,将两边开方,等式右边即可以写为两向量范数乘积的形式。

另外,当且仅当xy线性相关时,等式成立(仅两个向量而言,线性相关等同于平行)。

有虚部,内积即为标准内积。如果用拔(bar,上划线)标记共轭复数,这个不等式可以更明确地表述为

由柯西—施瓦茨不等式可以推得一个重要结果:内积是连续的,甚至满足一阶利普希茨条件

特例

等式成立时:

也可以表示成

证明则须考虑一个关于的一个一元二次方程

很明显的,此方程无实数或有重根,故其判别式

注意到

而等号成立于判别式

也就是此时方程有重根,故

  • 对平方可积的复值函数,有

这两例可更一般化为赫尔德不等式

这是
n=3 时的特殊情况。

矩阵不等式

列向量,则[a]

x=0时不等式成立,设x非零,,则
等号成立线性相关

Hermite阵,且,则

存在,设
等号成立线性相关

Hermite阵,且,则

存在,设
等号成立线性相关[1]

,则[2]

复变函数中的柯西不等式

在区域D及其边界上解析, 为D内一点,以为圆心做圆周 ,只要及其内部G均被D包含,则有:

其中,M是的最大值,

其它推广

[3]

[4]

参见

注释

  1. ^ 表示x的共轭转置

参考资料

  1. ^ 王松桂. 矩阵不等式-(第二版). 
  2. ^ 程伟丽 齐静. Cauchy不等式矩阵形式的推广. 郑州轻工业学院学报(自然科学版). 2008, (4). 
  3. ^ 赵明方. Cauchy不等式的推广. 四川师范大学学报(自然科学版). 1981, (2). 
  4. ^ 洪勇. 推广的Cauchy不等式的再推广. 曲靖师范学院学报. 1993, (S1). 
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