外代数(英语:Exterior algebra)也称为格拉斯曼代数(Grassmann algebra),以纪念数学家赫尔曼·格拉斯曼。
实外代数中,
n 阶元素的几何诠释:
n = 0(具有正负号的点),1(具有指向的线段,即
向量),2(具有定向的平面元),3(具有定向的体积)。
n个向量的外积可以图像化为
n维几何物体(例如
n维
平行六面体,
n维
椭球);其大小为
超体积(hypervolume),其
定向的定义由
(n − 1)维边界以及物体内部在哪一侧来决定。
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数学上,向量空间的外代数是一个特定有单位的结合代数,其包含了为其中一个子空间。它记为或. 而它的乘法,称为楔积或外积,记为. 楔积是结合的和双线性的;其基本性质是它在上是交错的,也就是:
- ,对于所有向量
这表示
- ,对于所有向量,以及
- ,当 线性相关时。
值得注意的是,以上三性质只对中向量成立,不是对代数中所有向量成立。
外代数事实上是“最一般的”满足这些属性的代数。这意味着所有在外代数中成立的方程只从上述属性就可以得出。的这个一般性形式上可以用一个特定的泛性质表示,请参看下文。
形式为的元素,其中在中,称为-向量。所有-向量生成的的子空间称为的-阶外幂,记为。外代数可以写作每个阶幂的直和:
该外积有一个重要性质,就是-向量和-向量的积是一个-向量。这样外代数成为一个分次代数,其中分级由给出。这些-向量有几何上的解释:2-向量代表以和为边的带方向的平行四边形,而3-向量代表带方向的平行六面体,其边为, , 和。
外幂的主要应用在于微分几何,其中他们用来定义微分形式。因而,微分形式有一个自然的楔积。所有这些概念由格拉斯曼提出。