梅林变换 - Wikiwand
For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for 梅林变换.

梅林变换

维基百科,自由的百科全书

此条目可参照英语维基百科相应条目来扩充。 (2018年4月11日)若您熟悉来源语言和主题,请协助参考外语维基百科扩充条目。请勿直接提交机械翻译,也不要翻译不可靠、低品质内容。依版权协议,译文需在编辑摘要注明来源,或于讨论页顶部标记((Translated page))标签。

在数学中,梅林变换是一种以幂函数为核的积分变换。定义式如下:

而其逆变换为

梅林变换有许多应用,例如可以证明黎曼ζ函数函数方程

与其他变换之关系

双边拉普拉斯变换

双边拉普拉斯变换可以用梅林变换来表示,如下式

梅林变换也可以用双边拉普拉斯变换来表示,如下式

傅立叶变换

傅立叶变换可以用梅林变换来表示,如下式

梅林变换变换也可以用傅立叶来表示,如下式

范例

Cahen–Mellin 积分

对于 ,且 在主要分支(principal branch)上,我们有

其中 为 Γ函数。

数论

假设

我们有

其中

圆柱坐标系下的拉普拉斯算子

在任何维度的圆柱坐标系中,拉普拉斯算子总是会包含下式

例如,拉普拉斯算子在二维空间的极坐标表示法

或是在三维空间的柱坐标表示法

而利用梅林变换可以很简单的处理此项

举例来说,二维拉普拉斯方程的极坐标表示法具有以下形式

或是

利用梅林变换,可以转换成一个简谐振子的形式

通解为

若给定边界条件

其梅林变换为

则通解可以写成

最后利用逆变换以及卷积定理

其中

可以得到

参考文献

  • Galambos, Janos; Simonelli, Italo. Products of random variables: applications to problems of physics and to arithmetical functions. Marcel Dekker, Inc. 2004. ISBN 0-8247-5402-6. 
{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
梅林变换
Listen to this article