梅钦类公式维基百科,自由的 encyclopedia 梅钦类公式(英语:Machin-like formula)是数学中计算圆周率的一个常用技巧,它是梅钦公式的推广,梅钦公式的形式为 π 4 = 4 arctan 1 5 − arctan 1 239 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}} 梅钦依据此公式,把圆周率计算到一百多位小数。 梅钦类公式的形式为: c 0 π 4 = ∑ n = 1 N c n arctan a n b n {\displaystyle c_{0}{\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=1}^{N}c_{n}\arctan {\frac {a_{n}}{b_{n}}}} (1) 其中, a n {\displaystyle a_{n}} 和 b n {\displaystyle b_{n}} 为正 整数,且 a n < b n {\displaystyle a_{n}<b_{n}} , c n {\displaystyle c_{n}} 为非零整数,且 c 0 {\displaystyle c_{0}} 为正整数。 梅钦类公式的应用可结合反正切函数的泰勒级数展开: arctan x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 x 2 n + 1 = x − x 3 3 + x 5 5 − x 7 7 + . . . {\displaystyle \arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+...} (4)
梅钦类公式(英语:Machin-like formula)是数学中计算圆周率的一个常用技巧,它是梅钦公式的推广,梅钦公式的形式为 π 4 = 4 arctan 1 5 − arctan 1 239 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}} 梅钦依据此公式,把圆周率计算到一百多位小数。 梅钦类公式的形式为: c 0 π 4 = ∑ n = 1 N c n arctan a n b n {\displaystyle c_{0}{\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=1}^{N}c_{n}\arctan {\frac {a_{n}}{b_{n}}}} (1) 其中, a n {\displaystyle a_{n}} 和 b n {\displaystyle b_{n}} 为正 整数,且 a n < b n {\displaystyle a_{n}<b_{n}} , c n {\displaystyle c_{n}} 为非零整数,且 c 0 {\displaystyle c_{0}} 为正整数。 梅钦类公式的应用可结合反正切函数的泰勒级数展开: arctan x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 x 2 n + 1 = x − x 3 3 + x 5 5 − x 7 7 + . . . {\displaystyle \arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+...} (4)