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梅滕斯函数

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图示为梅滕斯函数的前10000项与梅滕斯猜想中的界限
图示为梅滕斯函数的前10000项与梅滕斯猜想中的界限

梅滕斯函数(Mertens function)为一数论中的函数,针对所有正整数n定义,得名自弗朗茨·梅滕斯,梅滕斯函数定义如下

其中μ是默比乌斯函数

上述定义也可以延伸到实数

以较不严谨的说法来看,M(n)是计算到n为止的无平方数因数的数,其中有偶数个质因数的个数,减去有奇数个质因数的个数。

梅滕斯函数的值及其零点

前160个梅滕斯函数的值为(OEIS中的数列A002321

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
M(n) 1 0 -1 -1 -2 -1 -2 -2 -2 -1 -2 -2 -3 -2 -1 -1 -2 -2 -3 -3
n 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
M(n) -2 -1 -2 -2 -2 -1 -1 -1 -2 -3 -4 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -1 0 0
n 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
M(n) -1 -2 -3 -3 -3 -2 -3 -3 -3 -3 -2 -2 -3 -3 -2 -2 -1 0 -1 -1
n 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
M(n) -2 -1 -1 -1 0 -1 -2 -2 -1 -2 -3 -3 -4 -3 -3 -3 -2 -3 -4 -4
n 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
M(n) -4 -3 -4 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -2 -1 -1 0 1 2 2 1 1 1 1
n 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
M(n) 0 -1 -2 -2 -3 -2 -3 -3 -4 -5 -4 -4 -5 -6 -5 -5 -5 -4 -3 -3
n 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140
M(n) -3 -2 -1 -1 -1 -1 -2 -2 -1 -2 -3 -3 -2 -1 -1 -1 -2 -3 -4 -4
n 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160
M(n) -3 -2 -1 -1 0 1 1 1 0 0 -1 -1 -1 -2 -1 -1 -2 -1 0 0

梅滕斯函数缓慢的增长及减少,不论其平均值或是峰值都有类似特性,其函数以类似混沌的方式,在零的上下变化,梅滕斯函数在以下几点的数值为零:

2, 39, 40, 58, 65, 93, 101, 145, 149, 150, 159, 160, 163, 164, 166, 214, 231, 232, 235, 236, 238, 254, ... (OEIS中的数列A028442).

实际计算

利用类似质数计算的埃拉托斯特尼筛法,可以随着n的增加,计算梅滕斯函数

计算者 年份 上限
Mertens 1897 104
von Sterneck 1897 1.5×105
von Sterneck 1901 5×105
von Sterneck 1912 5×106
Neubauer 1963 108
Cohen and Dress 1979 7.8×109
Dress 1993 1012
Lioen and van de Lune 1994 1013
Kotnik and van de Lune 2003 1014

所有不大于N正整数的梅滕斯函数可以在用O(N2/3+ε)时间内算出来,不过已知有更好的算法。有基本的算法可以计算单独的M(N),时间复杂度为O(N2/3*(ln ln(N))1/3)

A08423710的幂下的梅滕斯函数。

梅滕斯猜想和黎曼猜想

因为默比乌斯函数的数值只有-1、0及+1,因此梅滕斯函数缓慢的变化,不存在正整数n使得|M(n)| > n梅滕斯猜想更进一步,认为不存在正整数n使得梅滕斯函数的绝对值超过数值的平方根。梅滕斯猜想是由汤姆斯·斯蒂尔吉斯在一封于1885年写给夏尔·埃尔米特弗朗茨·梅滕斯的信中提出的,已在1985年被安德鲁·奥德里兹科英语Andrew Odlyzko赫尔曼·特里尔英语Herman te Riele证否[1]

黎曼猜想等价于较弱型式的梅滕斯猜想M(n) = O(n1/2 + ε)。因为较高的M(n)成长的速度至少和n的平方根一様快,因此可以对成长速率定出上下限。此处的O大O符号

参见

参考资料

  1. ^ Odlyzko, A. M.; te Riele, H. J. J., Disproof of the Mertens conjecture (PDF), Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1985, 357: 138–160 [2015-07-25], ISSN 0075-4102, MR 783538, Zbl 0544.10047, doi:10.1515/crll.1985.357.138, (原始内容存档 (PDF)于2015-09-12) 
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