梯形

梯形（美式英语：trapezoid，英式英语：trapezium）是只有一组对边平行的凸四边形。梯形平行的两条边为底边，分别称为上底和下底，其间的距离为高，不平行的两条边为腰。下底与腰的夹角为底角，上底与腰的夹角为顶角。

梯形
梯形
类型	四边形
对偶	平行四边形
边	4
顶点	4
面积	${\displaystyle {\frac {1}{2}}(a+b)h}$
特性	凸
查 论 编

中位线 (两腰中点连线段)

由梯形两腰的中点连成的线段称为梯形的中位线。梯形的中位线与上底和下底都平行，长度为上底与下底的长度之和的一半，m=(a+b)/2。

高

若 ${\displaystyle a,b}$ 为梯形的底边， ${\displaystyle c,d}$ 为梯形的两腰，其中 ${\displaystyle a\neq b}$ ，则梯形的高：

${\displaystyle h={\frac {\sqrt {-(a-b+c+d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)(a-b-c-d)}}{2|a-b|}}}$

面积

梯形的面积 ${\displaystyle S}$ 满足：

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}(a+b)h}$

其中， ${\displaystyle h}$ 是梯形的高， ${\displaystyle a}$ 和 ${\displaystyle b}$ 分别为其上底和下底。事实上，由于中位线 ${\displaystyle m={\frac {a+b}{2}}}$ 因此梯形面积 ${\displaystyle S}$ 亦满足：

${\displaystyle S=mh}$

其中 ${\displaystyle m}$ 为中位线的长度。

以上两个公式均适用于任何梯形，也包括平行四边形。

边与角的关系

• 上下底边平行，因此上下邻角互为补角，度数和为180度。
• 对角线分割另一条对角线的比相同。

等腰梯形

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两腰长度相等的梯形称为等腰梯形。它具有如下性质：

1. 两条对角线相等。
2. 同一底上的二内角相等。
3. 对角互补，四顶点共圆。

依据以上性质，判定一个四边形是等腰梯形可以通过以下命题：

1. 两条对角线相等的梯形是等腰梯形。
2. 同一底上的二内角相等的梯形是等腰梯形。
3. 四顶点共圆的梯形是等腰梯形。

直角梯形

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一个底角为90°的梯形是直角梯形。由于梯形的二底边平行，因此根据同旁内角关系，直角梯形一腰上的两个底角都是90°。

正交梯形

对角线相互垂直的梯形是正交梯形。

圆外切梯形

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存在内切圆的梯形称为圆外切梯形，此外还有圆外切等腰梯形和圆外切直角梯形子类型^[1]。

参考文献

1. R.A.约翰逊，《近代欧氏几何学》，单墫 译，第158页，上海教育出版社，ISBN 7-5320-6392-5