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杨-米尔斯存在性与质量间隙

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杨-米尔斯规范场论与质量间隙理论物理中规范场论的一道基础问题,必须在数学上严格证明杨-米尔斯场论存在(即需符合构造性量子场论的标准),亦要证明它们有质量间隙,即模型所预测的最轻单粒子态为正质量。2000年,克雷数学研究所悬赏各一百万元的数学七大千禧年难题,其中一道题为杨-米尔斯规范场论同质量间隙。

背景

杨振宁
杨振宁

物理学中,杨-米尔斯理论是一种基于非阿贝尔群量子规范理论[1]:508。20世纪初,物理学家期待量子理论和经典场论两种思想可以融合[2]:82-83。在这一方向上,最早出现的理论是英国物理学家保罗·狄拉克1927年创立的量子电动力学,简称QED[1]:7,它提供了对电磁现象的量子描述,成为麦克斯韦理论的一个量子版本[3][4],能极为精确地解释电磁场和电磁力。自然而然的,物理学家期待后续的理论能将电磁现象与弱力强力一道统一起来[5]:2。1954年杨振宁罗伯特·米尔斯提出了杨-米尔斯理论[6],它是对QED的进一步推广[1]:481。在此基础上统一电磁力和强弱相互作用时,物理学家发现这一理论的“无质量性”成为症结所在[2]:88。经典杨-米尔斯理论的核心是一组非线性偏微分方程[7],杨-米尔斯存在性与质量间隙难题旨在证明杨-米尔斯方程组有唯一解,并且该解满足“质量间隙”这一特征[2]:90,其官方表述为:对任意紧致、单的规范群,四维欧几里得空间中的量子杨-米尔斯理论存在一个正的质量间隙[5]:6。质量间隙问题是量子色动力学理解强相互作用的理论关键,关乎理论物理学的数学基础,其解决将意味着一个数学上完整的量子规范场论的产生[5]:5

这一问题的解决前景不甚乐观,爱德华·威滕也直言“(它)对现在而言实在是太难了[2]:92。”物理学家普遍相信质量间隙的存在,但至今未能找到确凿的数学和物理学证明[8]

杨-米尔斯存在性与质量间隙问题的官方陈述由亚瑟·贾菲英语Arthur Jaffe和爱德华·威滕写出[5]

我们所知多数非凡(nontrivial)──即有相互作用──的4维量子场论皆为有截断能标英语cutoff (physics)有效场论。因多数模型的beta-函数是正的,似乎大多数这类模型皆有一支朗道极点,因我们完全不清楚它们有没有非凡紫外定点。故此,若每一scale上皆定义有这样的量子场论[a],它只可能为单纯的自由场论。

然而,有不可交换结构群杨-米尔斯理论(无夸克)例外。它有一种性质称为渐近自由,指它有一单纯的紫外定点英语UV fixed point。因此,我们可以寄望它成为非凡的构造性(constructive)四维量子场模型[b]

不交换群杨-米尔斯理论的色禁闭性已有符合理论物理严谨性的证明,但未有符合数理物理严谨性的证明[c]。基本上,换言之,过了QCD尺度(或者这里应称为禁闭尺度,因为无夸克),那些色荷粒子被色动力学的“流管”连着,所以粒子间有线性(“张力x长度)。所以胶子之类自由贺粒子不可能存在。若没有这些禁闭效应,我们应见到零质量的胶子;但因它们被禁闭,我们只见到不带色荷的胶子束绑态——胶波。凡胶波皆质量,所以我们期望质量间隙。

格点规范场论英语lattice gauge theory的结果令不少工作者相信,这个模型真的有禁闭现象(由Wilson圈英语Wilson loop的真空期望值的下降的“面积规律”(area law)看出),但这项结果还没有符合数学的严慬性。

注释

  1. ^ 必需,因它要满足公理化量子场论的公理。
  2. ^ 量子色动力学费米夸克,当然较为复杂。
  3. ^ 读者可阅读相关文章:量子色动力学)、夸克禁闭格点规范理论英语lattice gauge theory

参考文献

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 Matthew D. Schwartz. Quantum Field Theory and the Standard Model. Cambridge University Press. 2013 [2015-08-06]. ISBN 9781107034730. 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 引用错误:没有为名为book的参考文献提供内容
  3. ^ Toichiro Kinoshita; Donald R. Yennie. The Birth of Quantum Field Theory. Quantum Electrodynamics. Advanced series on directions in high energy physics. World Scientific. 1990: 1 [2015-08-06]. ISBN 9789810202149. 
  4. ^ Silvan S. Schweber. The Birth of Quantum Field Theory. QED and the Men who Made it: Dyson, Feynman, Schwinger, and Tomonaga. Princeton series in physics. Princeton University Press. 1994: 39 [2015-08-06]. ISBN 9780691033273. 
  5. ^ 5.0 5.1 5.2 5.3 Arthur Jaffe and Edward Witten. Quantum Yang–Mills Theory (PDF). Clay Mathematics Institute. [2015-07-30]. (原始内容 (PDF)存档于2015-03-30). 
  6. ^ Yang, C. N.; Mills, R. Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance. Physical Review. 1954, 96 (1): 191–195. Bibcode:1954PhRv...96..191Y. doi:10.1103/PhysRev.96.191. 
  7. ^ Michael R. Douglas. Report on the Status of the Yang-Mills Millenium Prize Problem (PDF). Clay Mathematics Institute. [2015-08-08]. 
  8. ^ A.S. Wightman; G. Velo. Fundamental Problems of Gauge Field Theory. Nato Science Series B illustrated. Springer Science & Business Media. 2013-11-11: 224 [2015-08-08]. ISBN 9781475703634. 

参见

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