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极性集

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数学中,极性集是位势论里的一个重要概念,地位有比零测度集之于测度论,极性集合在位势论中也代表一类特别“小”的集合,通常可以忽略不计。

定义

里的极性集可以如下定义:是极性集当且仅当存在非常数的次调和函数,使得

的情形,可以用容度定义极性:集合被称作极性的(polar),当且仅当它的容度为零。

若将定义中的次调和函数改为多重次调和函数,得到的集合称作多重极性集

性质

  • 中的单点集合是极性的
  • 可数个极性集的联集也是极性的
  • 极性集在中的勒贝格测度为零
  • 极性集必然是完全非连通

最后两点并非充分条件,例如康托尔集合测度为零而且完全非连通,但它不是极性的。

延伸阅读

  • J. L. Doob. Classical Potential Theory and Its Probabilistic Counterpart, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, ISBN 3-540-41206-9.
  • L. L. Helms (1975). Introduction to potential theory. R. E. Krieger ISBN 0-88275-224-3.
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