在多面体几何学中，标记（flag）[1]是指多胞形中的一系列维面，并且在这个序列中各包含了每个维度的其中一个元素。例如正方形中，正方形（ABCD）与其中一条棱（AB）与棱上一点（A）与其子集空多胞形（Ø）这四个正方形中的元素构成了一个正方形的标记，而正方形（ABCD）与其中一条棱（CD）与该正方形的另一条棱（AB）与棱上一点（A）与其子集空多胞形（Ø）这五个正方形中的元素构成的序列则不算是正方形的标记。
定义
较正式的多胞形标记的定义为，n维多胞形的标记ψ是一个集合{F−1, F0, ..., Fn}，使得Fi ≤ Fi+1，其中−1 ≤ i ≤ n − 1，并且对于每个i，ψ中恰好存在一个的Fi，其中i满足−1 ≤ i ≤ n。[2][3]但是，由于维度最小的元素F−1和维度最大的元素Fn必须在每个标记中，因此在表达一个标记时通常会被省略，并且有时会被称为不标准的多面体元素。[4]
举例来说，一个多面体的标记会包含一个顶点、一条含前述顶点的棱、一个含前述棱的面以及一个空多胞形和多面体本身。[5]
如果一个几何图形或结构的对称性可以在其标记上传递的，则这个个几何图形或结构可以被认为是正图形。[6] 但这个定义并不包括手性图形[7]。
若一个多胞形，其所有元素的子集都是该多胞形的标记，则称该多胞形为标记多胞形（flag polytopes）[8]。其可以对应到复形中的团复形的概念，其也与图论中的团概念相关。在图论中，团是满足两两之间有边连接的顶点的集合[9]，而团复形本身就是一个团，且该集合中的每个子集也位于团复形中，[10]因此团复形有时称为标记复形（flag complex） [11]。另外一种定义是若一多胞形中，任何一组互相相交的一系列维面中，若每个维面元素的集合之交集并非空集，则该多胞形称为标记多胞形[12]，这个定义与前述不同，但实际上等价[13]。例如立方体是一个标记多胞形但截角四面体不是[14]。
若一个多胞形是标记多胞形，则其维面也同样会是标记多胞形。[15]
重合几何
在探讨具有在其元素上定义重合关系（具有对称和反射关系）的集合，即更抽象的重合几何环境中，标记是一组互相具有重合关系的元素。[16]:3这种抽象概念概括了多面体几何学中的标记概念以及线性代数中的标记概念。[17]
秩为r的重合几何对象（Ω, I）可以被分割成集合Ω1, Ω2, ..., Ωr，使得每个集合的每个最大的标记恰好在一个元素中，其中最大的标记代表着不包含在任何标记中的标记。在此例中，Ωj的元素称为j类元素。因此，在秩为r的重合几何对象中，每个最大标记都恰好具有r个元素。[18]
秩为2的重合几何对象通常称为重合结构，在重合结构中，类型为1类的元素称为点，类型为2类的元素称为区块（某些情况称为线）[16]:5
重合结构是一个三元组D = (V, B, I)，其中V和B是任意两两不交的集合，I是V和B之间的二元关系，即I ⊆ V × B。其中V的元素称为点、B的元素称为区块、I的元素称为标记。[19]
用途
在正多胞形中，标记可以用于简化正多胞形的定义。一般正多胞形的定义是要同时满足每个维度上的每个元素在其对称性上可以传递，该图形才属于正图形，例如正多面体[20][21]，其中特性可传递，简称可递，意味着若该几何结构中任意两个同类元素元素A和B，透过在该几何结构的对称性下的变换（如旋转或镜射这个几何结构），使A移动到B原来的位置时，其元素仍然占据了相同的空间区域[22]。然而标记是指个包含所有维度中元素，每个维度的元素个一个的集合，因此透过讨论标记可递与否就能判断该立体是否为正图形[6]，然而此定义无法确认手性图形是否为正图形[7]。
参见
参考文献
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