模 - Wikiwand
For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for .

维基百科,自由的百科全书

环论

在数学的抽象代数中,上的(module over a ring)的概念是对向量空间概念的推广,这里不再要求向量空间里的标量的代数结构是(field),进而放宽标量可以是环(ring)。

因此,模同向量空间一样是加法交换群;在环元素和模元素之间定义了乘积运算,并且环元素和模元素的乘积是符合结合律的(在同环中的乘法一起用的时候)和分配律的。

模非常密切的关联于表示理论。它们还是交换代数同调代数的中心概念,并广泛的用于代数几何代数拓扑中。

定义

假设R(ring)且1RR,1R 是其乘法运算的单位元,则R-模包括一个交换群(M, +),以及一个映射(或运算)⋅ : R × MM (叫做标量乘法或数积,通常把此运算的值 (r,x) 记作 rx 或是 rxrRxM ) ,并且满足以下条件

对所有r,sR, x,yM,

有数学家的左模定义并不要求环有单位乘法元素1R,所以他们的定义只含以上前三个条件而排除了第四个条件,并把以上的定义称为"带单位元(1R )的左模"。

一个左R-模M 记作RM,类似的右R-模M 记作MR

一个R-模MMR与左R-模的定义相似,只是环的元素在右边,即其数积是⋅ : M × RM。在左R-模的定义中,环的元素rs 是在M 的元素x 的左边。若R可交换的,则左R-模与右R-模是一样的,简称为R-模。

R 是一个R-模称为向量空间。模是向量空间的推广,有很多与向量间相同的性质,但通常没基底

例子

  • 所有 可置换群 M是一个在整数Z的模,其数积是nx = x + x + ... + xn个相加)对于n > 0, 0x = 0,以及(-n)x = -(nx)对于n < 0。
  • R是一个环而n是一个自然数,则 Rn 是一个R-模。
  • M是一个光滑流形,则由M实数的光滑函数是一个环R。在M上的所有向量场组成一个R-模。
  • 所有 n×n 实数矩阵 组成一个环R欧几里得空间Rn 是一个左R-模,当中数积就是矩阵乘法。
  • R是一个环而I是其中一个 左理想 ,则I是一个左R-模。

子模及同态

假设M是左R-模兼NM子集。如果对于所有nNrR,乘积rnN(若是右模,nr),则NRM子模(或更准确地,R-子集)。

MN是左R-模,若映射 f : M -> N有对所有m, nMr, sRf(rm + sn) = rf(m) + sf(n),则称映射 fR-模同态。像其他同态,模同态保存了模的结构。

其他定义及表达法

M是左R-模,则一个R中元素r作用定义为映射MM,它将每个x映至rx(或者在右模的情况是xr),这必然是阿贝尔群(M,+)的群自同态。全域M的自同态记作EndZ(M),它在加法与合成下构成一环,而将R的元素r映至其作用则给出从R至EndZ(M)之同态。

如此的环同态R → EndZ(M)称作R在阿贝尔群M上的一个表示。左R-模的另一种等价定义是:一个阿贝尔群M配上一个R的表示。

一个表示称作忠实的,当且仅当R → EndZ(M)是单射。以模论术语来说,这意谓若rR的元素,且使得对所有M中的x都有rx=0,则r=0。任意阿贝尔群皆可表成整数环Z或其某一商环Z/nZ的忠实表示。

{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
Listen to this article