欧米加常数是一个数学常数,定义为:
它是W(1)的值,其中W是朗伯W函数。
Ω的值大约为0.5671432904097838729999686622 (OEIS数列A030178)。它具有以下的性质:
或
我们可以用迭代的方法来计算Ω,从Ω0开始,用下面的数列进行迭代:
当n→∞时,这个数列收敛于Ω。
无理数和超越数
我们可以用e是超越数的事实来证明Ω是无理数。如果Ω是有理数,则存在整数p和q,使得
所以
这样,e就是p次代数数。但是,e实际上是超越数,所以Ω一定是无理数。
Ω实际上也是一个超越数,这可以由林德曼-魏尔斯特拉斯定理直接推出。如果Ω是代数数,exp(Ω)将会是超越数,exp−1(Ω)也是超越数。但这与它是代数数的假设矛盾。
参见
参考文献
- Michon, G. P. "Final Answers: Numerical Constants." http://www.numericana.com/answer/constants.htm#omega (页面存档备份,存于互联网档案馆).
- Moll, V. H. "Some Questions in the Evaluation of Definite Integrals." MAA Short Course, San Antonio, TX. Jan. 2006. https://web.archive.org/web/20080402045620/http://crd.lbl.gov/~dhbailey/expmath/maa-course/Moll-MAA.pdf.
外部链接
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