正交变换维基百科,自由的 encyclopedia 在线性代数中,正交变换是线性变换的一种。如果对于任意向量 u {\displaystyle \mathbf {u} } 和 v {\displaystyle \mathbf {v} } 其内积等于正交变换后之向量 T ( u ) {\displaystyle T({\displaystyle \mathbf {u} })} 和 T ( v ) {\displaystyle T({\displaystyle \mathbf {v} })} 之内积,则称之为正交变换。 ⟨ u , v ⟩ = ⟨ T ( u ) , T ( v ) ⟩ {\displaystyle \langle {\mathbf {u} ,\mathbf {v} }\rangle =\langle {T(\mathbf {u} ),T(\mathbf {v} )}\rangle } 按照长度的定义,可知正交变换后的向量长度与变换前的长度相同[1]。 ‖ T ( x ) ‖ = ‖ x ‖ {\displaystyle \|T(\mathbf {x} )\|=\|\mathbf {x} \|} 其中 ‖ x ‖ {\displaystyle \|\mathbf {x} \|} 在空间 R n {\displaystyle R^{n}} 内, n {\displaystyle n} 表示维度。 ⟨ u , v ⟩ = ⟨ T ( u ) , T ( v ) ⟩ = ∑ n = 0 N − 1 u [ n ] v [ n ] {\displaystyle \langle {\mathbf {u} ,\mathbf {v} }\rangle =\langle {T(\mathbf {u} ),T(\mathbf {v} )}\rangle =\textstyle \sum _{n=0}^{N-1}u[n]v[n]\displaystyle } 其中 N {\displaystyle N} 为向量长度, u [ n ] {\displaystyle u[n]} 和 v [ n ] {\displaystyle v[n]} 分别为 u {\displaystyle \mathbf {u} } 和 v {\displaystyle \mathbf {v} } 之元素,正交变换不会影响变换前后向量间的夹角和内积长度。 在矩阵表示形式上,如果 T ( x ) = A x {\displaystyle T(\mathbf {x} )=\mathbf {A} \mathbf {x} } 为正交变换,则为 A {\displaystyle \mathbf {A} } 正交矩阵,对于正交变换之正交矩阵 A {\displaystyle \mathbf {A} } ,其每个列互为正交,令 A {\displaystyle \mathbf {A} } 为 M × N {\displaystyle M\times N} 之矩阵,取两个不相同的列 ϕ k {\displaystyle \phi _{k}} 和 ϕ h {\displaystyle \phi _{h}} ( k ≠ h {\displaystyle k\neq h} )遵守下列关系。 ⟨ ϕ k , ϕ h ⟩ = 0 {\displaystyle \langle \phi _{k},\phi _{h}\rangle =0}
在线性代数中,正交变换是线性变换的一种。如果对于任意向量 u {\displaystyle \mathbf {u} } 和 v {\displaystyle \mathbf {v} } 其内积等于正交变换后之向量 T ( u ) {\displaystyle T({\displaystyle \mathbf {u} })} 和 T ( v ) {\displaystyle T({\displaystyle \mathbf {v} })} 之内积,则称之为正交变换。 ⟨ u , v ⟩ = ⟨ T ( u ) , T ( v ) ⟩ {\displaystyle \langle {\mathbf {u} ,\mathbf {v} }\rangle =\langle {T(\mathbf {u} ),T(\mathbf {v} )}\rangle } 按照长度的定义,可知正交变换后的向量长度与变换前的长度相同[1]。 ‖ T ( x ) ‖ = ‖ x ‖ {\displaystyle \|T(\mathbf {x} )\|=\|\mathbf {x} \|} 其中 ‖ x ‖ {\displaystyle \|\mathbf {x} \|} 在空间 R n {\displaystyle R^{n}} 内, n {\displaystyle n} 表示维度。 ⟨ u , v ⟩ = ⟨ T ( u ) , T ( v ) ⟩ = ∑ n = 0 N − 1 u [ n ] v [ n ] {\displaystyle \langle {\mathbf {u} ,\mathbf {v} }\rangle =\langle {T(\mathbf {u} ),T(\mathbf {v} )}\rangle =\textstyle \sum _{n=0}^{N-1}u[n]v[n]\displaystyle } 其中 N {\displaystyle N} 为向量长度, u [ n ] {\displaystyle u[n]} 和 v [ n ] {\displaystyle v[n]} 分别为 u {\displaystyle \mathbf {u} } 和 v {\displaystyle \mathbf {v} } 之元素,正交变换不会影响变换前后向量间的夹角和内积长度。 在矩阵表示形式上,如果 T ( x ) = A x {\displaystyle T(\mathbf {x} )=\mathbf {A} \mathbf {x} } 为正交变换,则为 A {\displaystyle \mathbf {A} } 正交矩阵,对于正交变换之正交矩阵 A {\displaystyle \mathbf {A} } ,其每个列互为正交,令 A {\displaystyle \mathbf {A} } 为 M × N {\displaystyle M\times N} 之矩阵,取两个不相同的列 ϕ k {\displaystyle \phi _{k}} 和 ϕ h {\displaystyle \phi _{h}} ( k ≠ h {\displaystyle k\neq h} )遵守下列关系。 ⟨ ϕ k , ϕ h ⟩ = 0 {\displaystyle \langle \phi _{k},\phi _{h}\rangle =0}