正交群 - Wikiwand
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正交群

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群论 群 基本概念 子群 · 正规子群 · 商群 · 群同态 · 像 · (半)直积 · 直和单群 · 有限群 · 无限群 · 拓扑群 · 群概形 · 循环群 · 幂零群 · 可解群 · 圈积 离散群 有限单群分类 循环群 Zn 交错群 An 散在群马蒂厄群 M11..12,M22..24康威群 Co1..3 扬科群 J1..4 费歇尔群 F22..24子怪兽群 B怪兽群 M 其他有限群 对称群, Sn 二面体群, Dn 无限群 整数, Z 模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z) 连续群 李群一般线性群 GL(n)特殊线性群 SL(n)正交群 O(n)特殊正交群 SO(n)酉群 U(n)特殊酉群 SU(n)辛群 Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 劳仑兹群庞加莱群 无限维群 共形群微分同胚群 环路群 量子群 O(∞) SU(∞) Sp(∞) 代数群 椭圆曲线线性代数群(英语:Linear algebraic group)阿贝尔簇(英语:Abelian variety) 查论编
李群 典型群 一般线性群 GL(n) 特殊线性群 SL(n) 正交群 O(n) 特殊正交群 SO(n) 酉群 U(n) 特殊酉群 SU(n) 辛群 Sp(n) 单李群 单李群列表(英语:List of simple Lie groups) 无限单李群:An, Bn, Cn, Dn, 特殊单李群 G2(英语:G2 (mathematics)) F4 E6 E7 E8(英语:E8 (mathematics)) 其他李群(英语:Table of Lie groups) 圆群 循环群 劳仑兹群 庞加莱群 共形群(英语:Conformal group) 微分同胚群 圈群(英语:Loop group) 李代数 指数映射 李群的伴随表示 基灵型 李点对称 半单李群代数 丹金图(英语:Dynkin diagram) 嘉当子代数 根系 实形式(群论)(英语:Real form (Lie theory)) 复化 分裂李代数 紧李代数 群表示论 李群表示 李代数表示(英语:Lie algebra representation) 物理中的李群 粒子物理学与群表示论(英语:Particle physics and representation theory) 洛仑兹群的群表示论(英语:Representation theory of the Lorentz group) 庞加莱群的群表示论(英语:Representation theory of the Poincaré group) 伽利略群的群表示论(英语:Representation theory of the Galilean group) 科学家 索菲斯·李  · 庞加莱  · 威廉·基灵  · 埃利·嘉当  · 赫尔曼·外尔 查论编

数学上,数域F上的n正交群,记作O(n,F),是F上的n×n 正交矩阵矩阵乘法下构成的。它是一般线性群GL(n,F)的子群,由

给出。

这里QTQ转置。实数域上的经典正交群通常就记为O(n)。

更一般地,F上一个非奇异二次型的正交群是保持二次型不变的矩阵构成的群。嘉当-迪奥多内定理描述了这个正交群的结构。

每个正交矩阵的行列式为1或−1。行列式为1的n×n正交矩阵组成一个O(n,F)的正规子群,称为特殊正交群SO(n,F)。如果F特征为2,那么1 = −1,从而O(n,F)和SO(n,F)相等;其他情形SO(n,F)在O(n,F)中的指数是2。特征2且偶数维时,很多作者用另一种定义,定义SO(n,F)为迪克森不变量的,这样它在O(n,F)中总有指数2。

O(n,F)和SO(n,F)都是代数群,因为如果一个矩阵是正交的条件,即转置等于逆矩阵,能够定义成一些关于矩阵分量的多项式方程。

实数域上的正交群

实数域R上的正交群O(n,R)和特殊正交群SO(n,R)在不会引起误会时经常记为O(n)和SO(n)。他们是n(n-1)/2 李群。O(n,R)有两个连通分支,SO(n,R)是单位分支,即包含单位矩阵的连通分支。

实正交群和特殊正交群有如下的解释:

O(n,R)是欧几里得群E(n)的子群,E(n)是Rn等距群;O(n,R)由其中保持原点不动等距组成。它是以原点为中心的球面 (n = 3)、超球面和所有球面对称的对象的对称群

SO(n,R)是E+(n)的子群,E+(n)是“直接”等距,即保持定向的等距;SO(n,R)由其中保持原点不动的等距组成。它是以原点为中心的球面和所有球面对称对象的旋转群。

{ I, −I }是O(n,R)的正规子群并是特征子群;如果n是偶数,对SO(n,R)也对。如果n是奇数,O(n,R)是SO(n,R)和{ I, −I }的直积k旋转循环群Ck对任何正整数k都是O(2,R)和SO(2,R)的正规子群。

取合适的正交基,等距是

的形式。这里矩阵R1,...,Rk是2×2旋转矩阵。

对称群是O(2,R),也称为Dih(S1),这里S1是模长1复数的乘法群。

SO(2,R) (作为李群)同构于圆S1圆群)。这个同构将复数exp(φi) = cos(φ) + i sin(φ)映到正交矩阵

群SO(3,R),视为3维空间的旋转,是科学和工程中最重要的群。参见旋转群3×3旋转矩阵利用轴和角的一般公式

代数拓扑方面,对n > 2,SO(n,R)的基本群2阶循环,而自旋群Spin(n)是其万有覆叠。对n = 2基本群是无限循环而万有覆叠对应于实数轴(旋量群Spin(2)是惟一的2重复叠)

李群O(n,R)和SO(n,R李代数斜对称n×n矩阵组成,李括号交换子给出。这个李代数经常记为 o(n,R)或so(n,R)。

保持原点的3维同构

保持R3原点不动的同构,组成群O(3,R),能分成如下几类:

  • SO(3,R):
    • 恒同
    • 绕一个过原点的轴转动不等于180°
    • 绕一个过原点的轴转动180°
  • 以上与关于原点的点反演x映到−x)复合,分别为:
    • 关于原点的点反演
    • 绕一轴旋转一个不等于180°的角度,与关于过垂直于轴且过原点的平面的反射的复合
    • 关于一个过原点的平面的反射

特别地指出4阶和5阶正交群,在更宽泛的意义下6阶也是,称为反射旋转。类似的参见欧几里得群

共形群

作为保持距离的同构,正交变换也保角,从而是共形变换,但是不是所有的共形变换都是正交变换。Rn的线性共形映射构成的群记作CO(n),由正交群和收缩的乘积给出。如果n是奇数,两个子群不相交,他们是直积:;如果n是偶数,两个子群的交是,所以这不是直积,但这是和正收缩子群的直积:

我们可以类似地定义CSO(n),这时总有

复数域上正交群

复数域C上,O(n,C)和SO(n,C)是Cn(n-1)/2维的李群,这意味着实维数是n(n-1)。O(n,C)有两个连通分支,SO(n,C)是包含恒同矩阵的分支。当n ≥ 2时,这些群非紧。

和实情形一样,SO(n,C)不是单连通的,对n > 2 SO(n,C)的基本群是2阶循环群,而SO(2,C)的基本群是无穷循环群。

O(n,C)和SO(n,C)的复李代数斜对称n×n矩阵组成,李括号交换子给出。

拓扑

低维数

低维实正交群是熟悉的空间:

由于三维旋转在工程中有重要应用,产生了很多SO(3)上的卡

同伦群

正交群的同伦群和球面的同伦群密切相关,从而一般是很难计算的。

但是我们可以计算出稳定正交群的同伦群(也称为有限正交群),定义为包含序列

正向极限(因为包含都是闭包含,从而是上纤维化,也能理解成)。

齐性空间,从而有如下纤维丛

可以理解为:正交群 传递地作用于单位球面上,一点(看作一个单位向量)的稳定子群是其正交补的正交群,这是第一维的正交群。映射是自然包含。

从而包含(n-1) -连通的,故同伦群稳定,对,所以稳定空间的同伦群等于非稳定空间的低维同伦群。

通过博特周期性定理,,从而O的同伦群以8为周期,即 ,这样我们只要计算出最低8个同伦群就算出了所有群。

和KO-理论的关系

通过cluching construction,稳定空间O的同伦群和稳定球面上的向量丛等价(同构的意义下),提高一个维数:

(使得满足周期性),我们得到:

同伦群的计算和解释

低维群

最初的几个同论群可以用低维群的同论群具体的描述。

  • 保持/反定向(这个类存留到从而稳定)

得出:

  • 自旋群
  • ,有到的满射,从而后一个群消失。
李群

李群一般性事实,总消失,自由阿贝尔群

向量丛

从向量丛的观点来看,上的向量丛,具有两个点。从而在每个点上,丛是平凡的,这个丛的非平凡性是两个点上向量空间的维数之差,所以

是维数。
环路空间

利用博特周期性中环路空间具体的描述,我们可以将高维同伦群理解为容易分析的低维空间的同伦。利用O,以及O/U有两个分支,个分支,其实是连通的。

同伦群的解释

一小部分结论:[1]

  • 是维数
  • 定向
  • 自旋
  • 拓扑量子场理论

,以及为射影线上的重复线丛,是其K-理论。注意到,这些得出相应球面上的向量丛,以及:

  • 生成
  • 生成
  • 生成
  • 生成

有限群上的正交群

正交群也能定义在有限域上,这里是一个素数的幂。在这样的域上定义正交群,偶数维时有两类:;奇数维有一类:

如果是正交群作用的向量空间,它可以写成正交直和:

这里双曲线不包含奇异向量。如果,那么是正类型;若那么有偶维数;若有维数2,则是负类型。

n = 1的特例,是阶为二面体群

当特征大于2时,记O(n,q) = { A ∈ GL(n,q) : A·At=I }。关于这些群的阶数我们有以下公式

如果中的平方元素

如果不是中的平方元素

迪克森不变量

对偶数维正交群,迪克森不变量是从正交群到Z/2Z同态,是0或1取决于一个元素是偶数个还是奇数个反射的复合。在特征不等于2的域上迪克森不变量和行列式等价:行列式等于−1的迪克森不变量次幂。

在特征2的域上,行列式总为1,所以迪克森不变量给出了额外的信息。在特征2域上许多作者定义特殊正交群为迪克森不变量为0的元素,而不是行列式为1。

迪克森不变量也能对所有维数的克利福德群和Pin群类似地定义。

特征2域上正交群

特征2域上的正交群常常有不同的表现。这一节列出一些不同:

  • 任何域上的任何正交群都是由反射生成,惟一的例外是两个元素的域上的维特指标为2的4维向量空间(Grove 2002,Theorem 6.6 and 14.16)。注意特征2域上的反射定义稍不同。特征2域,垂直于一个向量u的反射将v映为v+B(v,u)/Q(uu,这里B是一个双线性形式,Q是和正交矩阵相连的二次形式。而通常的豪斯霍尔德变换是将v映到v-2·B(v,u)/Q(uu,当奇特征和零特征时与比较两者不同。
  • 特征2时正交群的中心总是1阶,而不是2阶。
  • 在特征2的奇维数2n+1时,完全域上的正交群和2n维辛群相同。事实上特征2时的辛形式时可交换的,而维数为奇数故总有一个1维的核,模去核的商是一个2n维辛空间,正交群作用在它上面。
  • 在特征2的偶维数,正交群是辛群的一个子群,因为此时二次型的辛双线性形式也是可交换的。

旋量模

旋量模是一个从域F上正交群到域F乘法群模去平方元素

F*/F*2

的同态,将关于模长为n向量的反射映到F*/F*2中的n

旋量模对实数域上的正交群是平凡的,但是其它域上常常不平凡,譬如实数域上不定二次型定义的正交群。

伽罗瓦上同调和正交群

代数群伽罗瓦上同调理论,引入了一些更深入的观点。它们有解释的价值,特别是二次型理论的联系; 但就目前所发现的现象而言,大部分都是“马后炮”。第一个观点是一个域上的二次型或者一个正交群的扭曲形式(张量)可以与伽罗瓦H1等同起来。作为一个代数群,正交群一般不是连通或单连通的;第二个观点是引入自旋现象,但前一个和判别式相联系。

一个旋量模的“spin”名字可以用与自旋群(更准确地pin群)的一个联系来解释。这种方法现在可以马上用伽罗瓦上同调(引入克利福德代数的术语)来解释。正交群的自旋群覆叠给出了一个代数群的短正合列

这里μ2是单位根的代数群;在一个特征非2的域上,粗略地看,和作用平凡的两元素群相同。

H0(就是取值于F中点的群OV(F))到H12)的连接同态本质上是spinor模,因为 H12)同构于域模去平方元素的乘法群。

正交群的H1到自旋群覆叠的核的H2也存在连接同态。因上同调是非阿贝尔的,所以,至少用普通定义,这是我们能走得最远的。

重要子群

物理中,特别是在Kaluza-Klein紧化领域,找出正交群的子群非常重要。主要结论如下:

正交群O(n)也是一些李群的重要子群:

群O(10)在超弦理论中非常重要,因为它是10维时空的对称群。

另见

注释

  1. ^ John Baez "This Week's Finds in Mathematical Physics" week 105

参考文献

外部链接

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